1. 一般相变

对于一般的相变是朗道理论预言的由对称性自发破缺导致的。

比如在一维横场Ising模型中的量子相变
$$H=-J\sum _j{\sigma }_j^z{\sigma }_{j+1}^z-h\sum _j{\sigma }_j^x$$

其相图为

这个模型存在$Z_2$对称性，即自旋翻转后哈密顿量保持不变。系统在铁磁基态理论上是二重简并的，即自旋全部朝上，和自旋全部朝下，满足$Z_2$对称性。

但在实际系统中，会自发地选择其中一个态作为系统的基态，即自发对称性破缺，系统不再满足$Z_2$对称性。但在顺磁相，系统依然满足$Z_2$对称性。

当从大到小调解横向磁场$h$，系统会在临界点$h_c$处发生从顺磁相到铁磁相的量子相变，系统的对称性减小了。

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2. 拓扑相变

后来发现自然界还存在另一种相变类型，系统不会发生对称性破缺。比如SSH模型

哈密顿量为，其中$\delta t$表示不均匀度，体系取开边界条件

$$H=-\sum _{i=1}^N\left[(t-\delta t)c_{i,A}^{†}{c}_{i,B}+(t+\delta t)c_{i,B}^{†}{c}_{i+1,A}+\text{h.c.}\right]$$

其能谱图为

为方便处理，以下讨论都取 $t=1$

在$\delta t<0$的时候，系统没有零能模（暂且称为正常绝缘态，NI）。如果体系是半满，即$N$个电子（电子之间无相互作用），由于体系离散能谱有$N$个负能级，$N$个正能级，那么$N$个电子直接填满$N$个负能级也就是说这种情况基态是非简并的。

在$\delta t>0$的时候，系统出现了两个零能模，即两个能级为$E=0$的态（暂且称为拓扑绝缘态，TI），在这种态上，如果体系是单电子，那么这个电子会完全局域在第$1$个格点的$A$子格或第$N$个格点的$B$子格中的一个上。如果体系是半满，即$N$个电子（电子之间无相互作用），由于体系离散能谱有$N-1$个负能级，$2$个零能级，$N-1$个正能级，那么$N-1$个电子先填满$N-1$个负能级，剩下一个电子填充$2$个零能级中的一个，也就是说这种情况基态是双重简并的。

模型在热力学极限下的连续能谱为$E(k)=\pm |h(k)|=\pm \sqrt{4\delta t^2+4(t^2-\delta t^2){\sin }^2(k)}.$

显然我们可以看到，在$\delta t=0$的时候，体系发生了从gapped到gapless的转变，即基态与激发态的能级发生了交叉，基态简并度发生了变化，即$\delta t<0$与$\delta t>0$的系统不是绝热相连（所谓绝热相连就是说一个系统经过变化，基态基态简并度不发生变化，基态能级不会与激发态能级态发生交叉，即基态与激发态之间的Gap不会闭合）的，体系必然发生了量子相变。但是相变点两边体系的对称性却是一样的，这显然不符合朗道理论，也就无法定义一个序参量。

2.1 拓扑不变量

那么如何来区分两种相呢？答案：拓扑不变量，也就是Berry相位。

数学上类比比如杯子和甜甜圈，前者没洞，这两者在拓扑上明显是不等价的。那么可以定义某个量（一个对表面求积分的量）来区分它们。前者没有洞，$I=0$；后者有一个洞，$I=1$。回到物理中，我们无法明显的从结构上看出来有没有洞，这里求的是对Berry相位进行积分也有一个量，拓扑不变量：$C$。对于平庸态：$C=0$，对于非平庸拓扑态：$C\ne 0$（可能是因为边缘态存在导致的？）。

由于拓扑绝缘体伴随着边缘态出现的，我们可以把它看作几何结构上的”洞“。

对与量子霍尔效应来说，这个拓扑不变量即为Chern number；
对于拓扑绝缘体来说，这个拓扑不变量即为$Z_2$ Invariants；
对于拓扑超导体来说，这个拓扑不变量即为Majorana number。