二进制、八进制、十进制和十六进制间的转换（原理及工程实现）

在计算机科学和编程中，进制转换是一个非常重要的基础知识。无论是二进制、八进制、十进制还是十六进制，它们在不同的场景中都有广泛的应用。本文将详细介绍常用进制之间的转换方法，并附上C语言示例代码，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

1. 什么是进制？

进制（Number System）是一种表示数字的方法，常见的进制包括：

二进制（Binary）：基数为 2，使用数字 0 和 1。
八进制（Octal）：基数为 8，使用数字 0 到 7。
十进制（Decimal）：基数为 10，使用数字 0 到 9。
十六进制（Hexadecimal）：基数为 16，使用数字 0 到 9 和字母 A 到 F。

2. 进制转换方法

2.1 二进制、八进制、十六进制转十进制

将其他进制转换为十进制的方法是通过按权展开法。公式如下：

$a=d_n \times r^n+d_{n-1} \times r^{n-1}+\cdots+d_0 \times r^0$

其中：

d 是每一位的数字；
r 是基数（二进制为 2，八进制为 8，十六进制为 16）；
nn是位数。

示例 1：二进制转十进制

将二进制数 1011 转换为十进制：

$1 \times 2^3+0 \times 2^2+1 \times 2^1+1 \times 2^0=8+0+2+1=11$

示例 2：十六进制转十进制

将十六进制数 1A3 转换为十进制：

$1 \times 16^2+10 \times 16^1+3 \times 16^0=256+160+3=419$

2.2 十进制转二进制、八进制、十六进制

将十进制转换为其他进制的方法是除基取余法，即不断除以目标进制基数，记录余数，直到商为 0，最后将余数倒序排列。

示例 3：十进制转二进制

将十进制数 25 转换为二进制：

25÷2=12 余1

12÷2=12 余0

6÷2=12 余0

3÷2=12 余1

1÷2=12 余1

将余数倒序排列：11001，所以 25 的二进制表示为 11001。

示例 4：十进制转十六进制

将十进制数 300 转换为十六进制：

300÷16=18 余12（C）

18÷16=1 余2

1÷16=0 余1

将余数倒序排列：12C，所以 300 的十六进制表示为 12C。

2.3 二进制与八进制、十六进制的互相转换

由于 $8=2^3$ 和 $16=2^4$ ，二进制与八进制、十六进制之间的转换可以通过分组法快速完成。

示例 5：二进制转八进制

将二进制数 101110 转换为八进制：

从右向左每 3 位分组：101 110；
将每组转换为十进制：
101 = $1 \times 2^2+0 \times 2^1+1 \times 2^0=5$ ；
110 = $1 \times 2^2+1 \times 2^1+0 \times 2^0=6$ ；
组合结果：56。

示例 6：十六进制转二进制

将十六进制数 3F 转换为二进制：

将每位十六进制数转换为 4 位二进制：
- 3 = 0011；
- F = 1111；
组合结果：00111111。

3. 编程实现进制转换（C语言）

以下是使用C语言实现进制转换的示例代码：

3.1 十进制转二进制、八进制、十六进制

#include <stdio.h>void decimalToBinary(int num) {if (num > 1) {decimalToBinary(num / 2);}printf("%d", num % 2);
}void decimalToOctal(int num) {if (num > 7) {decimalToOctal(num / 8);}printf("%d", num % 8);
}void decimalToHexadecimal(int num) {if (num > 15) {decimalToHexadecimal(num / 16);}int remainder = num % 16;if (remainder < 10) {printf("%d", remainder);} else {printf("%c", 'A' + (remainder - 10));}
}int main() {int num = 255;printf("十进制数 %d 的二进制表示为: ", num);decimalToBinary(num);printf("\n");printf("十进制数 %d 的八进制表示为: ", num);decimalToOctal(num);printf("\n");printf("十进制数 %d 的十六进制表示为: ", num);decimalToHexadecimal(num);printf("\n");return 0;
}

3.2 其他进制转十进制

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>int binaryToDecimal(char *binary) {int decimal = 0, length = strlen(binary);for (int i = 0; i < length; i++) {if (binary[i] == '1') {decimal += pow(2, length - i - 1);}}return decimal;
}int octalToDecimal(char *octal) {int decimal = 0, length = strlen(octal);for (int i = 0; i < length; i++) {decimal += (octal[i] - '0') * pow(8, length - i - 1);}return decimal;
}int hexadecimalToDecimal(char *hex) {int decimal = 0, length = strlen(hex);for (int i = 0; i < length; i++) {if (hex[i] >= '0' && hex[i] <= '9') {decimal += (hex[i] - '0') * pow(16, length - i - 1);} else if (hex[i] >= 'A' && hex[i] <= 'F') {decimal += (hex[i] - 'A' + 10) * pow(16, length - i - 1);}}return decimal;
}int main() {char binary[] = "1010";char octal[] = "12";char hex[] = "1A";printf("二进制数 %s 的十进制表示为: %d\n", binary, binaryToDecimal(binary));printf("八进制数 %s 的十进制表示为: %d\n", octal, octalToDecimal(octal));printf("十六进制数 %s 的十进制表示为: %d\n", hex, hexadecimalToDecimal(hex));return 0;
}