一、意义

动态规划（dynamic programming），将一个目标大问题“大事化小，小事化了”，分成很多的子问题，得出子问题的解后得到目标大问题的解。动态规划相当于地狱难度的递推。

二、例题

1. 最长上升子序列

题目描述

对于给定的一个序列 $<a_1,a_2,\cdots ,a_N$，我们也可以从中得到一些上升的子序列 $<a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{iK}>$，这里 $1\le i1<i2<\dots <iK\le N$，但必须按照从前到后的顺序。比如，对于序列 $<1,7,3,5,9,4,8>$，我们就会得到一些上升的子序列，如 $<1,7,9>,<3,4,8>,<1,3,5,8>$ 等等，而这些子序列中最长的（如子序列 $<1,3,5,8>$），它的长度为 $4$，因此该序列的最长上升子序列长度为 $4$。输入一个长度为 $n$ 的序列，输出该序列最长上升子序列长度。

输入描述

两行，第一行包含一个整数 $n$，第二行包含 $n$ 个整数。

输出描述

一行，一个整数，表示该序列最长上升子序列长度。

样例1

输入

7
1 7 3 5 9 4 10

输出

5

提示

$1\le n\le 1000$

先来推出状态转移方程（以样例1为例）：

a[]	1	7	3	5	9	4	10
子序列	1	1,7	1,3	1,3,5	1,3,5,9	1,3,4	1,3,5,9,10
dp[]	1	2	2	3	4	3	5

在上面的列举中，dp[i] 表示的是以 a[i] 为子序列末尾的长度最大值。

而我们求出 dp[i] 的方法也有些麻烦：

• 向前遍历 a[]：
  • 如果满足 a[i]>a[k]（当前遍历到的数字 a[i] 比之前遍历到的数字 a[k] 大）
  • 打擂台求 dp[i] 的最大值

综合的时间复杂度大约是 $O(n^2)$，感觉勉强能过。

综上所述，我们写出如下代码：

#include <iostream>
using namespace std;int n, maxn;
int a[1005];
int dp[1005];int main()
{cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];for (int i = 1; i <= n; i++)for (int k = i-1; k >= 1; k--)if (a[k] < a[i]){dp[i] = max(dp[i], dp[k]+1);maxn = max(maxn, dp[i]);}cout << maxn+1;return 0;
}

2. 合唱队形（加强版）

题目描述

$n$ 位同学站成一排，音乐老师要请其中的 $n-k$ 位同学出列，使得剩下的 $k$ 位同学排成合唱队形。
合唱队形是指这样的一种队形：设k位同学从左到右依次编号为 $1,2,\cdots ,k$，他们的身高分别为 $t_1,t_2,\cdots ,t_k$​，则他们的身高满足 $t_1<t_2<\cdots <t_{i-1}<t_i>t_{i+1}>\cdots >t_{k-1}>t_k$。题目保证 $1\le i\le k$。
你的任务是，已知所有n位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

输入描述

共二行。
第一行是一个整数 $n$，表示同学的总数。
第二行有 $n$ 个整数，用空格分隔，第 $i$ 个整数 $t_i$ ​是第 $i$ 位同学的身高

输出描述
一个整数，最少需要几位同学出列

样例1

输入

8
186 186 150 200 160 130 197 220

输出

4

提示

$0＜n\le 10^5,1\le t_i\le 10^6$。

这道题目就是上一道题的加强版。这道题目会有两个 dp[] 数组：

• dp1[i]：以 a[i] 为子序列结尾的最长上升子序列
• dp2[i]：以 a[i] 为子序列结尾的最长下降子序列

那么就有如下代码：

#include <iostream>
using namespace std;int n, maxn;
int a[100005];
int dp1[100005];
int dp2[100005];int main()
{cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];for (int i = 1; i <= n; i++){dp1[i] = 1;for (int j = 1; j < i; j++)if (a[i] > a[j])dp1[i] = max(dp1[i], dp1[j]+1);}for (int i = n; i >= 1; i--){dp2[i] = 1;for (int j = n; j > i; j--)if (a[i] > a[j])dp2[i] = max(dp2[i], dp2[j]+1);}for (int i = 1; i <= n; i++)maxn = max(maxn, dp1[i]+dp2[i]-1);cout << n-maxn;return 0;
}

可是这样多半是超时。那么我们可以用一个数组 b[i] 来存储长度为 i 的情况下最后的一个值。这样，对于第一题的 $<1,3>$ 和 $<1,7>$ 就会选择 $<1,3>$ 了。即：

a[]	1	7	3	5	9	4	10
子序列	1	1,7	1,3	1,3,5	1,3,5,9	1,3,4	1,3,5,9,10
dp[]	1	2	2	3	4	3	5
b[]	1	1,7	1,3	1,3,5	1,3,5,9	1,3,4,9	1,3,4,9,10

所以第一题的代码可以优化为：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;int n, maxn;
int len;
int a[1005];
int b[1005];
int dp[1005];int main()
{cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];for (int i = 1; i <= n; i++){if (a[i] > b[len]){len++;b[len] = a[i];dp[i] = len;}else{int pos = lower_bound(b+1, b+len+1, a[i]) - b;b[pos] = a[i];dp[i] = pos;}}for (int i = 1; i <= n; i++)maxn = max(maxn, dp[i]);cout << maxn;return 0;
}

作业1

恭喜，题目 $2$ 优化变成了你的作业（不怀好意地笑）。用 lower_bound() 函数进行优化。

3. 公共子序列

题目描述

现有一个数列 $S$，如果分别是两个已知数列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 $S$ 称为已知序列的最长公共子序列。
举个例子，如：有两条随机序列，如 $13455$ 和 $245756$，则它们的最长公共子序列便是：$455$。
现给定一个包含 $n$ 个整数的整数序列和一个包含 $m$ 个整数的整数序列，输出这两个序列的最长公共子序列长度。

输入描述

输入包括三行，第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$，第二行包含 $n$ 个整数，第三行包含 $m$ 个整数。

输出描述

输出包括一行，一个整数，表示这两个序列的最长公共子序列长度。

样例1

输入

5 6
1 3 4 5 5
2 4 5 7 5 6

输出

3

提示

$1\le n,m\le 1000$。

按照题目的描述，我们可以有一个 dp[][] 数组。其中 dp[i][j] 表示当 a 有 $i$ 个数、b 有 $j$ 个数的状态下最长的公共子序列长度。根据样例1，则有以下存储：

	1	2	3	4	5	6
1	0	0	0	0	0	0
2	0	0	0	0	0	0
3	0	1	1	1	1	1
4	0	1	2	2	2	2
5	0	1	2	3	3	3

所以得出式子：

• a[i] == b[i]
  • dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
• a[i] != b[i]
  • dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

上代码：

#include <iostream>
using namespace std;int n, m;
int a[1005];
int b[1005];
int dp[1005][1005];int main()
{cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];for (int i = 1; i <= m; i++)cin >> b[i];for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= m; j++){if (a[i] == b[j])dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;elsedp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);}cout << dp[n][m];return 0;
}

4. 编辑距离

设 $A,B$ 是两个字符串。我们要用最少的字符操作次数，将字符串 $A$ 转换为字符串 $B$。这里所说的字符操作共有三种：

• 删除一个字符；
• 插入一个字符；
• 将一个字符改为另一个字符。

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;string a, b;
int dp[2005][2005];int main()
{cin >> a >> b;int lena = a.length();int lenb = b.length();a = ' ' + a;b = ' ' + b;for (int i = 1; i <= lena; i++)dp[i][0] = i;for (int j = 1; j <= lenb; j++)dp[0][j] = j;for (int i = 1; i <= lena; i++)for (int j = 1; j <= lenb; j++){if (a[i] == b[j])dp[i][j] = min({dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]+1, dp[i][j-1]+1});elsedp[i][j] = min({dp[i-1][j-1]+1, dp[i-1][j]+1, dp[i][j-1]+1});}cout << dp[lena][lenb];return 0;
}