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图的基本概念

定义

图是一种非线性的逻辑结构。如果在某个结构中，任意两个元素之间都存在多对多的关系，那么我们就把这个结构称为图。

图 $G$ 由顶点集 $V$ 和 表示顶点之间联系的边集 $E$ 组成，记为 $G=(V,E)$，其中 $V$为有限非空集合。

由于人们习惯于将有关联的两个元素连接起来，因此，图结构又被称为网状结构。

与线性表、树不同的是，线性表可以是空表，树可以是空树，但图不可以是空图。

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常用术语

图的基本术语非常的多，我们逐一讲解。

有向图

在图 $G=(V,E)$ 中，若 $E$ 为有向边（也可以叫弧）的集合，那么我们图$G$称为有向图。

有向边（弧）是顶点的有序对，记为$<v,w>$，其中，$v,w$ 是顶点，$v$称为弧尾，$w$称为弧头，$<v,w>$ 称为从 $v$ 到 $w$ 的弧，也叫 $v$ 邻接到 $w$。

例如：

表示为：

$G=(V,E)$

V = { 1 , 2 , 3 } V=\{1,2,3\} V={1,2,3}

E = { < 1 , 2 > , < 2 , 3 > < 2 , 1 > } E=\{<1,2>,<2,3><2,1>\} E={<1,2>,<2,3><2,1>}

无向图

在图 $G=(V,E)$ 中，若 $E$ 为无向边（简称边）的集合，那么我们图$G$称为无向图。

边是顶点的有序对，记为$(v,w)$ 或 $(w,v)$。可以说 v 和 w 互为邻接点，也可以说 v 和 w 互相关联

例如：

表示为：

$G=(V,E)$

V = { 1 , 2 , 3 , 4 } V=\{1,2,3,4\} V={1,2,3,4}

$E=\{(1,2),(1,3)(1,4),(2,3)(2,4),(3,4)\}$

简单图、多重图

图 G 若满足：

1. 不存在重复边
2. 不存在顶点到自身的边

则称图 G 为 简单图。

反之，若图 G 满足：

1. 存在重复边
2. 存在顶点到自身的边

则称图 $G$ 为 多重图。

由于多重图太过复杂，因此在无特殊标注的情况下，我们讨论的图均为简单图。

完全图（简单完全图）

对于存在n个顶点的无向图来说，E集合中边的个数的取值范围为 $0$ 到 $n(n-1)/2$。

我们把恰好拥有 $n(n-1)/2$ 条边（即每两个顶点之间都存在一条边）的无向图称为无向完全图。

例如：

该图为无向完全图。

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对于存在n个顶点的有向图来说，E集合中元素个数的取值范围为 $0$ 到 $n(n-1)$。

我们把恰好拥有 $n(n-1)$ 条弧的有向图称为有向完全图。

例如：

该图为有向完全图。

子图

设存在图 $G_1=(V_1,E_1)$ 和 $G_2=(V_2,E_2)$，若 $V_2$ 是 $V_1$ 的子集，且 $E_2$ 是 $E_1$ 的子集，则称 $G_2$ 为 $G_1$ 的子图。

连通、连通图和连通分量

在无向图中，若存在从 v 到 w 的路径，则称 v 和 w 是连通的。

注意：这里说的是路径，并不是边。路径至少包含一条边。

若图G中任意两个顶点都是连通的，则称图G为连通图，否则称为非连通图。

无向图中的极大连通子图称为连通分量。

极大连通子图指，子图中任意两个顶点是连通的，且包含尽可能多的顶点和边。

例如：

图G有两个极大连通子图，G1、G2。

现在有一个子图 G3，G3 相较于 G1 少了 (1,4)，没有包含尽可能多的边和顶点，因此不是极大连通子图。

强连通图、强连通分量

在有向图中，对顶点 v,w ，若存在从v到w的路径，也存在从w到v的路径，那么称这两个顶点是强连通的。

若对任意的两个顶点 v,w都是强连通的，那么我们称这个有向图为强连通图。

有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。

例如：

如果G1去掉一条有向边

显然，该图也是图G的子图，但是由于没有尽可能多地包含有向边，因此，该图不是连通分量。

### 顶点的度、入度和出度

在无向图中，顶点v的度是指依附于顶点v的边的条数，记为 TD(v)。无向图中的顶点的度之和等于边数的两倍，因为每条边和两个顶点相关联。

例如：

该图中，任意一个顶点的度均为3，各顶点的度数之和=3*4=12，边数为6。

在有向图中，顶点v的度分为入度和出度。入度以v为终点的有向边的个数，记为ID(v)；出度是以v为起点的有向边的个数，记为OD(v)。顶点v的度TD(v) = ID(v) + OD(v)。有向图全部顶点的入度之和与出度之和相等，并且等于边数，因为每一条有向边都有一个起点和终点。

例如：

1的入度 = 0 出度 = 3

2的入度 = 1 出度 = 2

3的入度 = 2 出度 = 1

4的入度 = 3 出度 = 0

各个顶点的度数均为3. 入度之和 = 出度之和 = 边数。

边的权和网

在一个图中，每条边都可以标上具有某种特殊含义的数值，该数值称为该边的权。

边上带权的图称为带权图，也叫网。

稠密图、稀疏图

边数很少的图称为稀疏图，反之称为稠密图。

一般情况下，当图 G 满足 $|E|<|V|\log |V|$时，可以将图 G视为稀疏图。

路径、路径长度和回路

路径是指从一个顶点到另一个顶点经过的顶点序列。

路径长度是指路径经过的顶点的个数。

第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路，也可称为环。

若一个图有n个顶点，且有大于n-1条边，则该图一定存在回路。

简单路径、简单回路

在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径。

除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路。

距离

如果存在从v到w的路径，则称v到w的路径长度，为v到w的距离。

若v到w不存在路径，则称v到w的距离为无穷。

有向树

一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1的有向图，又叫有向树。

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至此，全篇结束，感谢阅读！