MATLAB - 自定义惯性矩阵

系列文章目录

前言

一、关键惯性约定

Simscape 多体软件在惯性定义中采用了一系列约定。请注意这些约定，因为如果手动进行惯性计算，这些约定可能会影响计算结果。如果您的惯性数据来自 CAD 应用程序或其他第三方软件，这些约定还可能影响到您需要对惯性数据进行哪些额外处理。特别是

惯性积的定义采用负数式，即在质量积分中明确插入减号。还有另一种方法，即在质量积分中不带减号。回想一下，惯性积是惯性矩阵的对角线外元素。
质量中心是相对于块的本地坐标系定义的。在导入 CAD 图形的实体中，该坐标系通常是 CAD 应用程序在惯性计算中假定的坐标系。但也可以修改实体几何文件，使两个坐标系不再匹配。

二、惯性矩阵定义

惯性矩阵捕捉了物质围绕局部坐标系的空间分布，在此称为惯性分辨率坐标系。该坐标系在图中标为 I。它的坐标轴与本地参照系的坐标轴平行，与 R 坐标系端口相关联，并相应地标注为 R。

惯性矩阵由惯性矩和惯性积组成。惯性矩占据矩阵的对角线位置，用于测量质量分布在惯性坐标系各轴上的分散度或扩散度。对某一轴线的扩散越大，该轴线对应的惯性矩就越大。

惯性积占据对角线以外的位置，衡量质量分布相对于惯性坐标系平面的不对称程度。对某平面的不对称程度越大，与该平面内任何轴相关的惯性积就越大。下图说明了这些关系。

2.1 惯性方程

矩阵相对于主对角线是对称的：指数互为倒数的对角线外元素具有相同的值。这一约束条件将惯性的唯一积的数量从原来的六个（所有对角线外位置的惯性积）减少到您必须在一个块中指定的三个（具有唯一指数组合的惯性积）：

$I_{yz}=I_{zy}$
$I_{zx}=I_{xz}$
$I_{xy}=I_{yx}$

惯性积 $I_{ij}$ 的定义采用了一些 CAD 应用程序所采用的流行的 "负数 "惯例：

$I_{yz}=-\int\limits_{V}(yz)\rho d\nu$
$I_{zx}=-\int\limits_{V}{(zx)\rho d\nu}$
$I_{xy}=-\int\limits_{V}(xy)\rho d\nu$

其中，ρ 是质量密度，v 是体积，V 是积分的总体积。x 坐标、y 坐标和 z 坐标是从质量中心到质量 ρdv 的无穷小元素的距离矢量的笛卡尔分量。惯性矩 $I_{ii}$ 的定义与此类似：

$I_{xx}=\int\limits_{V}(y^2+z^2)\rho d\nu$
$I_{yy}=\int\limits_{V}(z^2+x^2)\rho d\nu$
$I_{ZZ}=\int\limits_{V}(x^2+y^2)\rho d\nu$

当应用于简单形状（如圆柱形壳和矩形梁）时，这些定义会产生众所周知的代数方程，这些方程通常公布在标准工程表格中。在明确指定惯性参数时，可以参考这些表格。根据 Simscape 多体程序，完整的惯性矩阵为

$I=\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}$

2.2 惯性主轴

惯性矩的定义是正数。但是，惯性积可以是正、负或零。如果惯性坐标系的轴恰好与惯性主轴重合，则惯性积为零。惯性矩被称为主惯性矩，惯性矩阵被称为对角矩阵：

$I=\begin{pmatrix}I_{xx}&0&0\\0&I_{yy}&0\\0&0&I_{zz}\end{pmatrix}$

在这种情况下，必须指定的非三维惯性矩阵元素的数量减少到三个，即主惯性力矩。因此，惯性主轴可以作为指定惯性矩阵元素的方便坐标系。这就是实体块高度对称的预设形状中所假定的惯性分辨率坐标系。

但是，挤压实体或旋转实体的实体形状一般不采用这种方式，通过 STEP 或 STL 文件导入的实体形状也不采用这种方式。在 "挤压实体 "和 "旋转实体 "形状中，坐标系的位置与您如何定义几何截面密切相关。对于导入的形状，则取决于相对于本地零坐标，零件几何形状是如何建模的。

作为最佳实践，在明确指定惯性矩阵元素时，尤其是使用实体块时，应始终考虑分辨率惯性坐标系的位置。坐标系的位置始终是质量中心的位置，但在使用实体块时，其相对于实体几何体的方向不一定总是与惯性主轴重合。

试试看指定自定义惯性
考虑图中所示的矩形梁。确定其质量、质心、惯性矩和惯性积。使用自定义惯性参数化，在砖实体块中明确指定计算参数。

材料和尺寸。假设结构为铝，相应的质量密度为 0.09754 磅/英寸^3。使用横梁尺寸：

宽度 x = 3 英寸
高度 y = 4 英寸
长度 z = 10 英寸

准备梁模型。在 Simscape 多体模型中添加实体砖块。在 "Brick Solid 块 "对话框中指定梁的几何形状：将 "几何形状 > 尺寸 "参数设置为 [3 4 10] 英寸。该数组与梁的尺寸 [x y z] 相对应。

几何类型会影响局部参考系（R）的坐标，从而影响惯性计算本身。在可视化工具条中，单击 "坐标系可见性切换 "按钮。坐标系 R 位于质量中心，其轴线平行于梁尺寸（x、y 和 z）。

指定惯性参数。根据梁的密度和尺寸计算惯性参数。然后在实体砖块参数的惯性部分指定计算值：

Mass - 质量密度 (ρ) 与体积 (x - y - z) 的乘积：
Center of Mass - 相对于本地坐标系 (R) 的中心点坐标：
Moments of Inertia - 来自与分辨率惯性坐标系 (I) 有关的标准表达式： $[I_{xx},I_{yy},I_{zz}]=\frac{m}{12}[(y^2+z^2),(z^2+x^2),(x^2+y^2)]=[113.1,106.3,24.4]\text{lbm*in}^{\wedge}2$
Products of Inertia - 由相对于分辨率（I）的惯性坐标系的对称性而来： $[I_{yz},I_{zx},I_{xy}]=[0,0,0]$

三、作为惯性数据源的 CAD

CAD 应用程序通常会为零件模型提供惯性数据。例如，SolidWorks 软件通过其 "质量属性 "工具提供惯性数据，Onshape 软件通过其相同工具的版本提供惯性数据。您可以在 Simscape 多体环境中引用这些数据并手动指定。

3.1 替代惯性约定

某些 CAD 应用程序（包括 SolidWorks）使用另一种惯性约定来定义惯性矩阵的元素。这种约定去掉了惯性积定义中的负号。例如，惯性积 Iyz 变为

$I_{yz}=\int\limits_{V}(yz)\rho d\nu$

如果您的惯性数据源采用此约定，则必须在 Simscape 多体环境中指定惯性积的值之前明确否定惯性积。例如，SolidWorks 的惯性矩阵为

$I=\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}$

要在 Simscape 多体环境中正确指定矩阵元素，必须按以下方式处理它们：

$I=\begin{pmatrix}I_{xx}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{yx}&I_{yy}&-I_{yz}\\-I_{zx}&-I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}$

3.2 CAD 导入替代方案

您可以将 CAD 装配模型导入 Simscape 多体环境，而不是引用 CAD 装配模型中的惯性数据。CAD 导入基于 smimport 功能，该功能可解析 XML 格式的多体描述文件，并生成包含所有预设块参数（包括惯性参数）的等效框图。

在导入 CAD 模型之前，您必须以有效的 XML 格式导出模型，即符合 Simscape Multibody XML 模式的格式。只有当您拥有完整的 CAD 装配模型时，此选项才适合您。对于单个 CAD 零件，请使用实体块的 STEP 文件导入功能，并将 "惯性">"类型 "参数设置为 "从几何图形计算"。

更多信息，请参阅将 CAD 装配体转换为 Simscape 多体模型。

试试看：参考 SolidWorks 模型
确定图中所示 L 形梁的惯性参数。然后，通过将惯性参数化设置为自定义，在实体块中明确指定这些参数。将本示例中提供的质量属性数据用于梁的 SolidWorks 模型。

打开实体模型。在 MATLAB® 命令提示符下输入 openExample("sm/DocLBeamInertiaExample")。此时将打开一个简单模型，其中的文件实体块代表 L 形梁实体。打开文件实体块并查看其几何参数。梁的几何体是从之前从 SolidWorks 模型导出的 STEP 文件中导入的。该几何体为

在可视化窗格中，单击 "切换坐标系可见性 "按钮。可视化窗格显示两个坐标系，一个标为 R，另一个标为 I。

坐标系 R 是实体的局部坐标系。它与 SolidWorks 用户所说的零件模型输出坐标系相吻合。该坐标系位于横梁两个纵向端点之一 L 形的下角。您必须指定相对于该坐标系的质心。

坐标系 I 是为方便您使用而定制的实体坐标系。该坐标系与分辨率惯性坐标系一致。其原点位于质量中心，轴线与本地坐标系的轴线平行。您必须指定相对于该坐标系的惯性矩和惯性积。

查看 SolidWorks 数据。 SolidWorks 模型为 L 型梁零件提供了以下质量属性数据：

Mass properties of l_beam_solidConfiguration: DefaultCoordinate system: -- default --Density = 0.10 pounds per cubic inch
Mass = 2.19 pounds
Volume = 22.41 cubic inches
Surface area = 101.91 square inchesCenter of mass: ( inches )X = 0.58Y = 1.08Z = 5.00Principal axes of inertia and principal moments of inertia: 
( pounds * square inches )
Taken at the center of mass.Ix = ( 0.00,  0.00,  1.00)   	Px = 2.49Iy = ( 0.38, -0.92,  0.00)   	Py = 18.65Iz = ( 0.92,  0.38,  0.00)   	Pz = 20.35Moments of inertia: ( pounds * square inches )
Taken at the center of mass and aligned with 
the output coordinate system.Lxx = 20.10	Lxy = -0.60	Lxz = 0.00Lyx = -0.60	Lyy = 18.89	Lyz = 0.00Lzx = 0.00	Lzy = 0.00	Lzz = 2.49Moments of inertia: ( pounds * square inches )
Taken at the output coordinate system.Ixx = 77.40	Ixy = 0.76	Ixz = 6.33Iyx = 0.76	Iyy = 74.39	Iyz = 11.79Izx = 6.33	Izy = 11.79	Izz = 5.76

数据包括质心相对于 "输出坐标系 "的坐标。该坐标系与相应 Simscape 多体实体的局部坐标系 (R) 相吻合。

数据还包括 "取自质量中心并与输出坐标系对齐 "的惯性矩和惯性积矩阵。该坐标系与 Simscape 多体实体的惯性分辨率 (I) 坐标系一致。

指定惯性参数。展开 "文件实体块 "对话框的 "惯性参数 "部分。然后将 "惯性 > 类型 "参数设置为 "自定义"，更改惯性参数设置。此时将显示整套惯性参数供您指定。

将 "质量 "参数设置为 2.19 磅。
将质量中心参数设置为 [0.58 1.08 5.00] in. 这是 SolidWorks 报告中显示的质量中心的 [x y z] 坐标。
将惯性力矩参数设置为 [20.10 18.89 2.49] lbm*in^2。这些是 SolidWorks 报告中显示的 [Lxx Lyy Lzz] 惯性矩。
将惯性积参数设置为 [0 0 0.6] lbm*in^2。这些是 SolidWorks 报告中显示的惯性积的负 [Lyz Lzx Lxy ]。

四、自动惯性计算

实体块提供了一个选项，可根据实体几何图形自动计算大部分惯性参数。该选项可从 "惯性">"类型 "下拉列表中选择，默认为打开，您只需指定几何参数和质量或质量密度。

程序块使用几何参数和质量参数计算其余惯性参数--质心、惯性矩和惯性积--相对于相应的坐标系。计算基于质量密度恒定且均匀的假设。

您可以在实体块内名为 "显示惯性 "的可扩展部分查看计算结果。质心是相对于本地坐标系（R）给出的，惯性矩和惯性积是相对于惯性分辨率坐标系（I）给出的。这些都是您可以指定这些参数的坐标系。

试试看显示惯性计算结果
配置 DocLBeamInertiaExample 模型的文件实体块，根据实体几何形状及其质量密度计算惯性参数。然后，查看计算参数。

在 "文件实体 "块的对话框中，将 "惯性">"类型 "参数切换为 "从几何体计算"。密度参数下方会出现一个显示惯性节点。
将密度参数设置为 0.09754 lbm/in^2。该值对应于铝结构实体，与 "查看 SolidWorks 数据 "中提供的 SolidWorks 数据中的假设相同。
展开 "显示惯性 "节点并单击 "更新 "按钮。显示惯性 "下的惯性参数将以计算值填充。将它们与 SolidWorks 质量属性数据中提供的值进行比较。

五、URDF 中的惯性矩阵

5.1 长方体的惯性矩阵

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
#
# SPDX-License-Identifier: Apache-2.0
# Copyright 2022 Stéphane Caron"""
Compute the inertia matrix of a box and print it as URDF.Source:https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_moments_of_inertia#List_of_3D_inertia_tensors
"""import argparse
import sysdef parse_command_line_arguments():parser = argparse.ArgumentParser(description=__doc__)parser.add_argument("mass", type=float, help="total mass in [kg]")parser.add_argument("l_x", type=float, help="box length in [m] along the x-axis")parser.add_argument("l_y", type=float, help="box length in [m] along the y-axis")parser.add_argument("l_z", type=float, help="box length in [m] along the z-axis")return parser.parse_args()if __name__ == "__main__":args = parse_command_line_arguments()mass, l_x, l_y, l_z = args.mass, args.l_x, args.l_y, args.l_zixx = mass / 12.0 * (l_y ** 2 + l_z ** 2)iyy = mass / 12.0 * (l_x ** 2 + l_z ** 2)izz = mass / 12.0 * (l_x ** 2 + l_y ** 2)print(f'<box size="{l_x} {l_y} {l_z}" />')print(f'<mass value="{mass}" />')print(f"\n<!-- {' '.join(sys.argv)} -->")print(f'<inertia ixx="{ixx}" ixy="0" ixz="0" 'f'iyx="0" iyy="{iyy}" iyz="0" 'f'izx="0" izy="0" izz="{izz}" />')

5.2 圆柱体的惯性矩阵

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
#
# SPDX-License-Identifier: Apache-2.0
# Copyright 2022 Stéphane Caron"""
Compute the inertia matrix of a cylinder and print it as URDF.Source:https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_moments_of_inertia#List_of_3D_inertia_tensors
"""import argparse
import sysdef parse_command_line_arguments():parser = argparse.ArgumentParser(description=__doc__)parser.add_argument("mass", type=float, help="total mass in [kg]")parser.add_argument("radius", type=float, help="radius in [m] in the xy-plane")parser.add_argument("length", type=float, help="length in [m] along the z-axis")return parser.parse_args()if __name__ == "__main__":args = parse_command_line_arguments()mass, radius, length = args.mass, args.radius, args.lengthixx = mass / 12.0 * (3 * radius ** 2 + length ** 2)iyy = mass / 12.0 * (3 * radius ** 2 + length ** 2)izz = mass / 2.0 * radius ** 2print(f'<cylinder radius="{radius}" length="{length}" />')print(f'<mass value="{mass}" />')print(f"\n<!-- {' '.join(sys.argv)} -->")print(f'<inertia ixx="{ixx}" ixy="0" ixz="0" 'f'iyx="0" iyy="{iyy}" iyz="0" 'f'izx="0" izy="0" izz="{izz}" />')