点个关注吧，谢谢！
后面将继续更新数论基础，如果内容有问题，请私信我。

定义：
设$a,b\in \mathbb{Z}$，如果存在整数$c\in \mathbb{Z}$，使得$b=ac$，那么说$a$整除$b$或者$b$被$a$整除；$a$是$b$的因数或者$b$是$a$的倍数。常用符号$a|b$表示。

示例：
$-5|15:15=3\ast (-5)$
$3|6:6=2\ast 3$

性质及证明
1. 如果$a|b$且$b|c$，那么$a|c$。

证：$a|b$可知$b=ra$，$b|c$可知$c=kb$。$\to$ $c=rka$
所以$a|c$。

2. 若$m\ne 0，a|b$，那么$ma|mb$。
证：$a|b$可知$b=ra$。因$m\ne 0$，所以$mb=r(ma)$

3. 若$a|b,b|a$，那么$a=\pm b$
证： $a|b$可知$b=ra$,$b|a$可知$a=kb$，所以$b=rkb$，所以$rk=1$，因为$r,k$均为整数，所以$r=\pm 1$， 所以$a=\pm b$。

4. 若$a|b,c|d$，那么$ac|bd$。
证：$a|b$可知$b=ra$，$c|d$可知$d=kc$.所以$bd=rk(ac)$，所以$ac|bd$.

5. 设$a|b$且$b|c$，当且仅当$\forall x,y\in \mathbb{Z}$，有$a|bx+cy$。
证：必要性： $a|b$可知$b=ra$，$b|c$可知$c=kb$。所以$bx+cy=(ra+ky)a$，所以$a|bx+cy$。
充分性：因为$\forall x,y\in \mathbb{Z}$，有$a|bx+cy$，所以取$x=1,y=0$，有$a|b$。$x=0,y=1$，有$a|c$。

6. $a|b_1,a|b_2,...a|b_n$，则有$a|b_1{x}_1+...+b_n{x}_n$。
证： $b_i=r_{i}a$,则有$b_i{x}_i=(r_i{x}_i)a$。那么$\sum b_i{x}_i=[\sum (r_i{x}_i)]a$，则有$a|\sum b_i{x}_i$。

7.若$2|ab$，那么有$2|a$或$2|b$。
证：不妨设$2\nmid a$，所以有$a=2k+1(奇数)$。$ab=(2k+1)b$。因为$2|ab$，所以$2|(2k+1)b\to 2|(2kb+b)$，所以$2|b$。

最后一步显而易见：$a|b,a|(b+c)\to a|c$
证：$b+c=ra,b=ka\to c=(r-k)a\to a|c$。