博弈论和sg函数

Nim游戏

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先说结论：假设n堆石子，石子数分别为a1,a2,a3.....，则当a1^a2^a3^...^an=0时先手必败，否则先手必胜。

因为所表示的二进制位必定是成对出现的，根据性质 1 ^ 1 = 0 ，0 ^ 0 = 0 得出结论。（具体证明过程不再说明）

因此代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;int main(){ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>n;int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){int x;cin>>x;ans^=x;}if(!ans)cout<<"No"<<"\n";else cout<<"Yes"<<"\n";return 0;
}

台阶-Nim游戏

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首先给出结论：所有奇数阶的石子个数异或，如果异或和为0，那么先手必败，否则先手必胜。

因为从第一阶拿下来石子要取1次，第二阶拿下来要取2次。。。。。以此类推，所以可以看成第二阶有两堆石子，第三阶有三堆石子，因为两堆相同数量的石子异或和必然为0，而奇数阶的石子异或和为本身，所以只需将奇数阶的石子异或计算即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;int main(){ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>n;int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){int x;cin>>x;if(i&1)ans^=x;}if(!ans)cout<<"No"<<"\n";else cout<<"Yes"<<"\n";return 0;
}

集合-Nim游戏

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SG函数

这道题目用到了SG函数，那么首先介绍一下什么是SG函数以及用法：

首先定义MEX集合表示集合中最小的没有出现的自然数，如MEX{1，2}=0，MEX{0，1，2}=3.

首先看左边这个图，我们把终点定义为sg(终点)=0；因为终点不能到达其他点，然后终点的前面一个点定义为sg(x)=1，因为后面有0，以此类推我们可以画出sg图。

那么SG函数具体的作用是什么呢？

首先终点的sg为0，意味着不能进行任何操作，在博弈论中意味着失败，那么当sg为0时，判负，相反，当sg不为0时，一定有一条路可以从该点走向sg（x）= 0，那么也就意味着如果先手不为0，那么一定可以让后手变为0.

接下来看题目，假设一堆有10个石子，我可以通过拿2个或5个使石子不能再拿，因此可以一个个枚举石子剩余的个数，如右图。接下来算出每个点的sg值，由图可知sg（10）=1，因此可以走到0让对手失败。

那么一堆是这样，n堆便用例题1的知识得：所有堆的sg异或和如果为0，先手必败，否则先手必胜。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =1e5+5;
int f[N],a[N];
int n,m;int sg(int x){if(f[x]!=-1)return f[x];//记忆化搜索unordered_set<int>s;for(int i=1;i<=m;i++){if(x>=a[i]){s.insert(sg(x-a[i]));}}for(int i=0;;i++){if(!s.count(i))return f[x]=i;}}int main(){ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);memset(f,-1,sizeof(f));cin>>m;for(int i=1;i<=m;i++){cin>>a[i];}int ans=0;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){int x;cin>>x;ans^=sg(x);}if(!ans)cout<<"No"<<"\n";else cout<<"Yes"<<"\n";return 0;
}