矢量分析
梯度和方向倒数
- 标量场 φ \varphi φ 的梯度为
g r a d φ = ∇ φ = e x ⃗ ∂ φ ∂ x + e y ⃗ ∂ φ ∂ y + e z ⃗ ∂ φ ∂ z grad\varphi=\nabla \varphi=\vec{e_x}\frac{\partial \varphi}{\partial x}+\vec{e_y}\frac{\partial \varphi}{\partial y}+\vec{e_z}\frac{\partial \varphi}{\partial z} gradφ=∇φ=ex∂x∂φ+ey∂y∂φ+ez∂z∂φ
- 标量场在 l ⃗ \vec{l} l 方向上（单位矢量为 l ∘ ⃗ \vec{l^\circ} l∘）的方向导数为
∂ φ ∂ l = ∇ φ ⋅ l ∘ ⃗ \frac{\partial \varphi}{\partial l}=\nabla \varphi \cdot \vec{l^\circ} ∂l∂φ=∇φ⋅l∘
散度
d i v A ⃗ = ∇ ⋅ A ⃗ div\vec{A}=\nabla \cdot \vec{A} divA=∇⋅A
- 散度定理
∫ V ∇ ⋅ A ⃗ d V = ∮ S A ⃗ ⋅ d S ⃗ \int_V\nabla\cdot\vec{A}~dV=\oint_S\vec{A}\cdot d\vec{S} ∫V∇⋅A dV=∮SA⋅dS
旋度
r o t A ⃗ = ∇ × A ⃗ rot\vec{A}=\nabla\times\vec{A} rotA=∇×A
- 斯托克斯定理
∫ S ( ∇ × A ⃗ ) ⋅ d S ⃗ = ∮ l A ⃗ ⋅ d l ⃗ \int_S(\nabla\times\vec{A})\cdot d\vec{S}=\oint_l\vec{A}\cdot d\vec{l} ∫S(∇×A)⋅dS=∮lA⋅dl
哈密尔顿微分算符
- 直角坐标系
∇ = e x ⃗ ∂ ∂ x + e y ⃗ ∂ ∂ y + e z ⃗ ∂ ∂ z \nabla=\vec{e_x}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{e_y}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{e_z}\frac{\partial}{\partial z} ∇=ex∂x∂+ey∂y∂+ez∂z∂
- 圆柱坐标系
∇ = e r ⃗ ∂ ∂ r + e ϕ ⃗ 1 r ∂ ∂ ϕ + e z ⃗ ∂ ∂ z \nabla=\vec{e_r}\frac{\partial}{\partial r}+\vec{e_\phi}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}+\vec{e_z}\frac{\partial}{\partial z} ∇=er∂r∂+eϕr1∂ϕ∂+ez∂z∂
- 球面坐标系
∇ = e r ⃗ ∂ ∂ r + e θ ⃗ 1 r ∂ ∂ θ + e ϕ ⃗ 1 r sin θ ∂ ∂ ϕ \nabla=\vec{e_r}\frac{\partial}{\partial r}+\vec{e_\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+\vec{e_\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi} ∇=er∂r∂+eθr1∂θ∂+eϕrsinθ1∂ϕ∂
拉普拉斯微分算子
- 直角坐标系
∇ 2 φ = ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 + ∂ 2 φ ∂ z 2 \nabla^2\varphi=\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2} ∇2φ=∂x2∂2φ+∂y2∂2φ+∂z2∂2φ
- 圆柱坐标系
∇ 2 φ = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ φ ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 φ ∂ φ 2 + ∂ 2 φ ∂ z 2 \nabla^2\varphi=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial\varphi}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial \varphi^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2} ∇2φ=r1∂r∂(r∂r∂φ)+r21∂φ2∂2φ+∂z2∂2φ
- 球面坐标系
∇ 2 φ = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ φ ∂ r ) + 1 r 2 sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ ∂ φ ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 θ ∂ 2 φ ∂ ϕ 2 \nabla^2\varphi=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial\varphi}{\partial r})+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta\frac{\partial\varphi}{\partial \theta})+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2\varphi}{\partial \phi^2} ∇2φ=r21∂r∂(r2∂r∂φ)+r2sinθ1∂θ∂(sinθ∂θ∂φ)+r2sin2θ1∂ϕ2∂2φ
静电场
库仑定律
点电荷 q ′ q' q′ 位于 r ′ ⃗ \vec{r'} r′；点电荷 q q q 位于 r ⃗ \vec{r} r；点电荷 q ′ q' q′ 到点电荷 q q q 为 R ⃗ = r ⃗ − r ′ ⃗ \vec{R}=\vec{r}-\vec{r'} R=r−r′。 q ′ q' q′ 对 q q q 的库仑力为
F ⃗ = q ′ q 4 π ε 0 R ⃗ R 3 \vec{F}=\frac{q'q}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\vec{R}}{R^3} F=4πε0q′qR3R
电场强度
位于 r ′ ⃗ \vec{r'} r′ 的点电荷 q ′ q' q′ 在 r ⃗ \vec{r} r 处产生的电场强度为
E ⃗ = q ′ 4 π ε 0 R ⃗ R 3 \vec{E}=\frac{q'}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\vec{R}}{R^3} E=4πε0q′R3R
高斯定理
- 闭合曲面 S S S 包含的总电荷为 Q Q Q，则该闭合曲面的通量为
∮ S E ⃗ ⋅ d S ⃗ = Q ε 0 \oint_S\vec{E} \cdot d\vec{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0} ∮SE⋅dS=ε0Q
- 微分形式（电场强度的散度）
∇ ⋅ E ⃗ = ρ ε 0 ∮ S E ⃗ ⋅ d S ⃗ = q ε 0 \begin{split} \nabla \cdot \vec{E}&=\frac{\rho}{\varepsilon_0} \\ \oint_S\vec{E}\cdot d\vec{S}&=\frac{q}{\varepsilon_0} \end{split} ∇⋅E∮SE⋅dS=ε0ρ=ε0q
- 电场强度的旋度
∇ × E ⃗ = 0 ⃗ ∮ l E ⃗ ⋅ d l ⃗ = 0 \begin{split} \nabla\times\vec{E}&=\vec{0} \\ \oint_l\vec{E}\cdot d\vec{l}&=0 \end{split} ∇×E∮lE⋅dl=0=0
静电场的电位
- 电场强度与电位的关系
E ⃗ = − ∇ φ \vec{E}=-\nabla\varphi E=−∇φ
- 位于 r ′ ⃗ \vec{r'} r′ 的点电荷 q ′ q' q′ 在 r ⃗ \vec{r} r 处的电位为
φ ( r ⃗ ) = 1 4 π ε 0 q ′ ∣ r ⃗ − r ′ ⃗ ∣ \varphi(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q'}{|\vec{r}-\vec{r'}|} φ(r)=4πε01∣r−r′∣q′
- 静电场中两点间的电位差为
φ ( P ) − φ ( P 0 ) = ∫ P P 0 E ⃗ ⋅ d l ⃗ \varphi(P)-\varphi(P_0)=\int_P^{P_0}\vec{E}\cdot d\vec{l} φ(P)−φ(P0)=∫PP0E⋅dl
- 泊松方程
∇ 2 φ = − ρ ε 0 \nabla^2\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0} ∇2φ=−ε0ρ
电偶极子
- 两个等量异种电荷 − q -q −q 和 q q q，负电荷到正电荷的有向距离为 l ⃗ \vec{l} l，则电偶极矩为
p ⃗ = q l ⃗ \vec{p}=q\vec{l} p=ql
- 取电偶极矩的中心在坐标原点，
φ = p ⃗ ⋅ r ⃗ 4 π ε 0 r 3 \varphi=\frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{4\pi\varepsilon_0r^3} φ=4πε0r3p⋅r
E ⃗ = p 4 π ε 0 r 3 ( e r ⃗ 2 cos θ + e θ ⃗ sin θ ) \vec{E}=\frac{p}{4\pi\varepsilon_0r^3}(\vec{e_r}2\cos\theta+\vec{e_\theta}\sin\theta) E=4πε0r3p(er2cosθ+eθsinθ)
电介质（绝缘体）的极化强度
- 体积 Δ V \Delta V ΔV 里电偶极矩之和为 ∑ p ⃗ \sum{\vec{p}} ∑p，则极化强度为
P ⃗ = lim Δ V → 0 ∑ p Δ V \vec{P}=\lim_{\Delta V \to 0}\frac{\sum{p}}{\Delta V} P=ΔV→0limΔV∑p
- 极化介质产生的极化电荷可以看作等效体电荷和等效面电荷，分别为
ρ p ( r ⃗ ) = − ∇ ⋅ P ( r ⃗ ) ⃗ \rho_p(\vec{r})=-\nabla\cdot\vec{P(\vec{r})} ρp(r)=−∇⋅P(r)
ρ s p = P ⃗ ( r ⃗ ) ⋅ n ⃗ \rho_{sp}=\vec{P}(\vec{r})\cdot\vec{n} ρsp=P(r)⋅n
电位移矢量
在电介质中，电场由自由电荷 ρ \rho ρ 和极化电荷（束缚电荷） ρ p \rho_p ρp 共同产生。
- 极化介质中的电场强度为 E ⃗ \vec{E} E，极化强度为 P ⃗ \vec{P} P，则电位移矢量为
D ⃗ = ε 0 E ⃗ + P ⃗ \vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P} D=ε0E+P
- 电介质中的场方程
∇ ⋅ D ⃗ = ρ ∮ S D ⃗ ⋅ d S ⃗ = q ∇ × E ⃗ = 0 ⃗ \begin{split} \nabla\cdot\vec{D}&=\rho \\ \oint_S\vec{D}\cdot d\vec{S}&=q \\ \nabla\times\vec{E}&=\vec{0} \end{split} ∇⋅D∮SD⋅dS∇×E=ρ=q=0
电介质的电位
对于均匀介质（ ε \varepsilon ε 为常数），
∇ 2 φ = − ρ ε \nabla^2\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon} ∇2φ=−ερ
介电常数
若介质是线性各向同性（均匀介质），介质的相对介电常数为 ε r \varepsilon_r εr，介质的介电常数为 ε \varepsilon ε，极化率为 χ e \chi_e χe。
- 极化强度为
P ⃗ = ε 0 χ e E ⃗ \vec{P}=\varepsilon_0\chi_e\vec{E} P=ε0χeE
- 电位移矢量为
D ⃗ = = ε 0 ( 1 + χ e ) E ⃗ = ε 0 ε r E ⃗ = ε E ⃗ \begin{split} \vec{D}= &=\varepsilon_0(1+\chi_e)\vec{E} \\ &=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E} \\ &=\varepsilon\vec{E} \end{split} D==ε0(1+χe)E=ε0εrE=εE
静电场的边界条件
- 分界面两侧的介电常数分别为 ε 1 \varepsilon_1 ε1 和 ε 2 \varepsilon_2 ε2，分界面的法向量为 n ⃗ \vec{n} n，分界面上的自由电荷密度为 ρ s \rho_s ρs，则边界条件为
n ⃗ ⋅ ( D ⃗ 2 − D ⃗ 1 ) = ρ s o r D 2 n − D 1 n = ρ s n ⃗ × ( E ⃗ 2 − E ⃗ 1 ) = 0 ⃗ o r E 2 t = E 1 t \begin{split} \vec{n}\cdot(\vec{D}_2-\vec{D}_1)=\rho_s~~~&or~~~D_{2n}-D_{1n}=\rho_s\\ \vec{n}\times(\vec{E}_2-\vec{E}_1)=\vec{0}~~~&or~~~E_{2t}=E_{1t} \end{split} n⋅(D2−D1)=ρs n×(E2−E1)=0 or D2n−D1n=ρsor E2t=E1t
- 电介质边界的电位
φ 1 = φ 2 ρ s = − ε 2 ∂ φ 2 ∂ n + ε 1 ∂ φ 1 ∂ n \begin{split} &\varphi_1=\varphi_2\\ &\rho_s=-\varepsilon_2\frac{\partial\varphi_2}{\partial n}+\varepsilon_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial n} \end{split} φ1=φ2ρs=−ε2∂n∂φ2+ε1∂n∂φ1
- 介质 ε 1 \varepsilon_1 ε1 和介质 ε 2 \varepsilon_2 ε2 中电力线与法线的夹角分别为 θ 1 \theta_1 θ1 和 θ 2 \theta_2 θ2，关系为
tan θ 1 tan θ 2 = ε 1 ε 2 \frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2} tanθ2tanθ1=ε2ε1
- 对于导体，内部电荷为零，仅考虑外部场 E ⃗ \vec{E} E 和 D ⃗ \vec{D} D，外法线 n ⃗ \vec{n} n，边界条件为
D n = ρ s E t = 0 \begin{split} D_n&=\rho_s \\ E_t&=0 \end{split} DnEt=ρs=0
静电场的能量密度和电场能量
- 能量密度
ω e = 1 2 E ⃗ ⋅ D ⃗ \omega_e=\frac{1}{2}\vec{E}\cdot\vec{D} ωe=21E⋅D
- 电场能量
W e = 1 2 ∫ V E ⃗ ⋅ D ⃗ d V W_e=\frac{1}{2}\int_V\vec{E}\cdot\vec{D}~dV We=21∫VE⋅D dV
恒定电流的电场和磁场
电流密度
正电荷运动的方向为 n ⃗ \vec{n} n，取与 n ⃗ \vec{n} n 垂直的面积元 Δ S \Delta S ΔS，通过面积元的电流为 Δ I \Delta I ΔI，则电流密度为
J ⃗ = lim Δ S → 0 Δ I Δ S n ⃗ \vec{J}=\lim_{\Delta S \to 0}\frac{\Delta I}{\Delta S}\vec{n} J=ΔS→0limΔSΔIn
- 通过任意面积 S S S 的电流强度为
I = ∫ S J ⃗ ⋅ d S ⃗ I=\int_S\vec{J}\cdot d\vec{S} I=∫SJ⋅dS
欧姆定律的微分形式（传导电流）
线性各向同性的导体的电导率为 σ \sigma σ，则电流密度为
J ⃗ = σ E ⃗ \vec{J}=\sigma\vec{E} J=σE
焦耳定律的微分形式（传导电流）
导体内的热功率密度为
p = J ⃗ ⋅ E ⃗ p=\vec{J}\cdot\vec{E} p=J⋅E
恒定电流场的基本方程
∇ ⋅ J ⃗ = 0 ∮ S J ⃗ ⋅ d S ⃗ = 0 ∇ × E ⃗ = 0 ⃗ ∮ l E ⃗ ⋅ d l ⃗ = 0 \begin{split} \nabla\cdot\vec{J}&=0\\ \oint_S\vec{J}\cdot d\vec{S}&=0\\ \nabla\times\vec{E}&=\vec{0}\\ \oint_l\vec{E}\cdot d\vec{l}&=0 \end{split} ∇⋅J∮SJ⋅dS∇×E∮lE⋅dl=0=0=0=0
- 均匀导体（电导率为常数）内部电荷动态为零，则
∇ ⋅ E ⃗ = 0 ∇ 2 φ = 0 \begin{split} \nabla\cdot\vec{E}&=0\\ \nabla^2\varphi&=0 \end{split} ∇⋅E∇2φ=0=0
恒定电流场的边界条件
- 分界面两侧的电导率分别为 σ 1 \sigma_1 σ1 和 σ 2 \sigma_2 σ2，分界面的法向量为 n ⃗ \vec{n} n，分界面上的自由电荷密度为 ρ s \rho_s ρs，则边界条件为
n ⃗ ⋅ ( J ⃗ 2 − J ⃗ 1 ) = 0 o r J 1 n = J 2 n n ⃗ × ( E ⃗ 2 − E ⃗ 1 ) = 0 ⃗ o r E 1 t = E 2 t \begin{split} \vec{n}\cdot(\vec{J}_2-\vec{J}_1)&=0~~~or~~~ J_{1n}=J_{2n}\\ \vec{n}\times(\vec{E}_2-\vec{E}_1)&=\vec{0}~~~or~~~E_{1t}=E_{2t}\\ \end{split} n⋅(J2−J1)n×(E2−E1)=0 or J1n=J2n=0 or E1t=E2t
- 导体边界的电位
φ 1 = φ 2 σ 1 ∂ φ 1 ∂ n = σ 2 ∂ φ 2 ∂ n \begin{split} \varphi_1&=\varphi_2\\ \sigma_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial n}&=\sigma_2\frac{\partial\varphi_2}{\partial n} \end{split} φ1σ1∂n∂φ1=φ2=σ2∂n∂φ2
- 介质 σ 1 \sigma_1 σ1 和介质 σ 2 \sigma_2 σ2 中电流线与法线的夹角分别为 θ 1 \theta_1 θ1 和 θ 2 \theta_2 θ2，关系为
tan θ 1 tan θ 2 = σ 1 σ 2 \frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{\sigma_1}{\sigma_2} tanθ2tanθ1=σ2σ1
- 导体内部的电荷为零，电荷只能分布在表面上（ J 1 n = J 2 n = J n J_{1n}=J_{2n}=J_n J1n=J2n=Jn）：
ρ s = D 2 n − D 1 n = ε 2 σ 2 J 2 n − ε 1 σ 1 J 1 n = J n ( ε 2 σ 2 − ε 1 σ 1 ) \rho_s=D_{2n}-D_{1n}=\frac{\varepsilon_2}{\sigma_2}J_{2n}-\frac{\varepsilon_1}{\sigma_1}J_{1n}=J_n(\frac{\varepsilon_2}{\sigma_2}-\frac{\varepsilon_1}{\sigma_1}) ρs=D2n−D1n=σ2ε2J2n−σ1ε1J1n=Jn(σ2ε2−σ1ε1)
磁感应强度
B ⃗ = μ 0 4 π ∮ C I d l ⃗ × R ⃗ R 3 \vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_C\frac{Id\vec{l}\times\vec{R}}{R^3} B=4πμ0∮CR3Idl×R
- 磁感应强度与矢量磁位的关系
B ⃗ = ∇ × A ⃗ \vec{B}=\nabla\times\vec{A} B=∇×A
恒定磁场的基本方程
{ ∇ ⋅ B ⃗ = 0 ∮ S B ⃗ ⋅ d S ⃗ = 0 \begin{cases} \nabla\cdot\vec{B}=0 \\ \oint_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0 \end{cases} {∇⋅B=0∮SB⋅dS=0
{ ∇ × B ⃗ = μ 0 J ⃗ ∮ C B ⃗ ⋅ d l ⃗ = μ 0 I \begin{cases} \nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J} \\ \oint_C\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0I \end{cases} {∇×B=μ0J∮CB⋅dl=μ0I
磁偶极子
一个载流回路的面积为 S ⃗ \vec{S} S，电流为 I I I，则磁偶极矩为
m ⃗ = I S ⃗ \vec{m}=I\vec{S} m=IS
- 矢量磁位为
A ⃗ = μ 0 4 π m ⃗ × r ⃗ r 3 \vec{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\vec{m}\times\vec{r}}{r^3} A=4πμ0r3m×r
- 球面坐标系下的磁感应强度
B ⃗ = μ 0 m 4 π r 3 ( e ⃗ r 2 cos θ + e ⃗ θ sin θ ) \vec{B}=\frac{\mu_0m}{4\pi r^3}(\vec{e}_r2\cos\theta+\vec{e}_\theta\sin\theta) B=4πr3μ0m(er2cosθ+eθsinθ)
磁介质的磁化强度
- 体积为 Δ V \Delta V ΔV 的磁介质中，总的磁偶极矩为 ∑ m ⃗ \sum\vec{m} ∑m，则磁化强度为
M ⃗ = lim Δ V → 0 ∑ m ⃗ Δ V \vec{M}=\lim_{\Delta V \to 0}\frac{\sum\vec{m}}{\Delta V} M=ΔV→0limΔV∑m
- 介质磁化产生的磁化电流由体电流和面电流组成，为
J ⃗ m = ∇ × M ⃗ J ⃗ m S = M ⃗ ⋅ n ⃗ \begin{split} &\vec{J}_m=\nabla\times\vec{M} \\ &\vec{J}_{mS}=\vec{M}\cdot\vec{n} \end{split} Jm=∇×MJmS=M⋅n
磁场强度
H ⃗ = B ⃗ μ 0 − M ⃗ \vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M} H=μ0B−M
磁导率
若介质是线性各向同性（均匀介质），介质的相对磁导率为 μ r \mu_r μr，介质的磁导率为 μ \mu μ，极化率为 χ m \chi_m χm。
- 磁化强度为
M ⃗ = χ m H ⃗ \vec{M}=\chi_m\vec{H} M=χmH
- 磁感应强度为
B ⃗ = μ 0 ( H ⃗ + M ⃗ ) = μ 0 ( 1 + χ m ) H ⃗ = μ 0 μ r H ⃗ = μ H ⃗ \begin{split} \vec{B}&=\mu_0(\vec{H}+\vec{M})\\ &=\mu_0(1+\chi_m)\vec{H}\\ &=\mu_0\mu_r\vec{H}\\ &=\mu\vec{H} \end{split} B=μ0(H+M)=μ0(1+χm)H=μ0μrH=μH
磁介质中恒定磁场的基本方程
{ ∇ ⋅ B ⃗ = 0 ∮ S B ⃗ ⋅ d S ⃗ = 0 \begin{cases} \nabla\cdot\vec{B}=0\\ \oint_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0 \end{cases} {∇⋅B=0∮SB⋅dS=0
{ ∇ × H ⃗ = J ⃗ ∮ C H ⃗ ⋅ d l ⃗ = ∫ S J ⃗ ⋅ d S ⃗ \begin{cases} \nabla\times\vec{H}=\vec{J}\\ \oint_C\vec{H}\cdot d\vec{l}=\int_S\vec{J}\cdot d\vec{S} \end{cases} {∇×H=J∮CH⋅dl=∫SJ⋅dS
恒定磁场的边界条件
- 分界面两侧的磁导率分别为 μ 1 \mu_1 μ1 和 μ 2 \mu_2 μ2，分界面的法向量为 n ⃗ \vec{n} n，分界面上的电流密度为 J ⃗ S \vec{J}_S JS，则边界条件为
n ⃗ ⋅ ( B ⃗ 2 − B ⃗ 1 ) = 0 o r B 2 n = B 1 n n ⃗ × ( H ⃗ 2 − H ⃗ 1 ) = J ⃗ S o r H 2 t − H 1 t = J S \begin{split} \vec{n}\cdot(\vec{B}_2-\vec{B}_1)=0~~~&or~~~B_{2n}=B_{1n}\\ \vec{n}\times(\vec{H}_2-\vec{H}_1)=\vec{J}_S~~~&or~~~H_{2t}-H_{1t}=J_S \end{split} n⋅(B2−B1)=0 n×(H2−H1)=JS or B2n=B1nor H2t−H1t=JS
- 介质 μ 1 \mu_1 μ1 和介质 μ 2 \mu_2 μ2 中磁力线与法线的夹角分别为 θ 1 \theta_1 θ1 和 θ 2 \theta_2 θ2，关系为
tan θ 1 tan θ 2 = μ 1 μ 2 \frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{\mu_1}{\mu_2} tanθ2tanθ1=μ2μ1
磁场能量密度和磁场能量
- 磁场能量密度
ω m = 1 2 B ⃗ ⋅ H ⃗ \omega_m=\frac{1}{2}\vec{B}\cdot\vec{H} ωm=21B⋅H
- 磁场能量
W m = 1 2 ∫ V B ⃗ ⋅ H ⃗ d V W_m=\frac{1}{2}\int_V\vec{B}\cdot\vec{H} dV Wm=21∫VB⋅HdV
