三、 数据结构：

时间复杂度：

• 背复杂度对应的代码。
• Tips：时间复杂度估算看最内层循环，如若没有循环和递归则为O（1）。

空间复杂度：

• 需要单独空间存储数据时使用。
• 考点：非递归的空间复杂度。
• Tips：声明一个变量和有限个数的变量都是O(1)。

递归式：

时间/空间复杂度：

• 递归算法的时间/空间复杂度 = 递归的次数 × 每次递归的时间/空间复杂度
  • 上述适用于每次递归时间复杂度不变的情况。
• 如果每次递归的时间复杂度随着n变化而变化，则要根据代码来观察。

主方法求递归式：（似懂非懂）

指数计算公式：

线性表：

• 考点：如果没有给出最好最坏平均时间复杂度的话，默认是平均时间复杂度。

顺序表：

• 插入、删除操作最好时间复杂度为O(1)，平均和最坏时间复杂度都为O(n)。
• 查找最好、最坏、平均情况都为O(1)。

单链表：

• 查找、插入、删除操作最好时间复杂度为O(1)，平均和最坏时间复杂度都为O(n)。

顺序存储：

• 通过元素在存储空间中的相对位置来表示数据元素之间的逻辑关系。

队列：

• 优先队列通常采用 堆 数据结构实现，向优先队列中插入一个元素的时间复杂度为O( lgn)。

数组：

一维数组：

• LOC：数组首地址、L：元素大小。
• 下标从0开始：a_i = LOC + i × L
• 下标从1开始：a_i = LOC + ( i - 1) × L
• Tips：理解记忆。

二维数组：a[i][j] -> i表示行，j表示列

• LOC：数组首地址、N：行数、M：列数、L：元素大小
• 按行优先存储并且下标从0开始：a_(i,j) = LOC + (i × M + j) × L
• 按行优先存储并且下标从1开始：a_(i,j) = LOC + [(i - 1) × M + (j-1)] × L
• 按列优先存储并且下标从0开始：a_(i,j) = LOC + (j × N + i) × L
• 按列优先存储并且下标从1开始：a_(i,j) = LOC + [(j - 1) × N + (i - 1)] × L
• Tips：理解记忆。

矩阵：

对称矩阵：

概念：

• 有一个n×n的矩阵，若矩阵中的任意一个元素都有A_(i,j) = A_(j,i)，则该矩阵为对称矩阵。

考点：

• 一般考存储下三角和主对角线；按行优先存储；基于一维数组下标从1开始存储的公式。

对称矩阵按行存储下三角区和主对角线并且下标从1（A_1,1）开始的公式：

• 当(i≥j)时：A_(i,j) = i(i - 1) / 2 + j
• 当(i≤j)时：A_(i,j) = j(j - 1) / 2 + i
• ---- ----
• 对称矩阵按行存储下三角区和主对角线并且下标从0（A_0,0）开始：
  • 当(i≥j)时：A_(i,j)=i(i+1)/2+j+1
  • 当(i≤j)时：A_(i,j)=j(j+1)/2+i+1

三对角矩阵：

概念：

• 有一个n×n矩阵A称为三对角矩阵，其中第(i,j)个元素在j > i + 1和j < i - 1时为零。

考点：

• 按行优先存储。

三对角矩阵按按存储并且下标从1（A_1,1）开始的公式：背

• A_(i,j) = 2i + j - 2
• ---- ----
• 三对角矩阵按按存储并且下标从1（A_1,1）开始：A_(i,j) = 2i + j - 2

稀疏矩阵：

• 三元组顺序表和十字链表是对稀疏矩阵进行压缩存储的方式。背

上述三种矩阵图例：

二叉树：

• 完全二叉树、满二叉树概念。
• 性质3。

二叉树的存储结构：

• 顺序存储需要维护结点和左、右孩子的关系：结点编号为n，则左孩子为2n，右孩子为2n+1。
• 链式存储有二叉链表和三叉链表。
  • 对于个结点n的二叉树，二叉链表的空指针为n+1，三叉链表的空指针为n+2。

二叉树的遍历：

• 先序遍历和后序遍历，不能构造中序遍历。
• 通过序列构造二叉树必须有中序序列。

平衡二叉树：

• 左右子树高度差不能大于1。

有序二叉树：

• 有序二叉树，就是左子树上的数值小于树根上的值，树根上的值小于右子树的值。左右子树也是一颗二叉排序树。
• 最坏的查找情况是单枝树（即高度h为n）要查找n次。

二叉排序树关键字排序：

• 第一位为根节点，第二位与根节点比较插入到树中，依次类推。

最优二叉树（哈夫曼树）：

• 概念：它是一类带权路径长度最短的树。路径是从书中一个结点到另一个结点之间的通路，路径上的分支数目为路径长度。
• 哈夫曼树中权值越大的结点离根结点越近，权值越小的结点离根结点越远。
• 哈夫曼树只有度为0和度为2的结点，没有度为1的结点。
• n个权值构造的哈夫曼树具有2n-1个结点。
• 哈夫曼编码，基于贪心算法。

• 哈夫曼树中最小的两个结点互为兄弟结点。

构造最优二叉树：

• 方法：

• 规则：***
  • 1. 从前往后找两个权重最小。2. 小左大右。3. 加入末尾。4. 权值相同从前往后。5. 用时再调。

压缩比计算：

• 概念：求等长编码到哈夫曼编码压缩了多少。
• 等长编码需要多少位。-> 公式：2^x >= 字符个数，x为需要多少位。
• 哈夫曼编码是变长编码，在哈夫曼树中，从根节点开始，给左右分支标记0，1。即一层节点占一位。
• 压缩比 =（等长编码长度 - 哈夫曼编码车长度） / 等长编码长度

图：

有向图、无向图：

• 无向图：连接顶点的边是无向边
• 有向图：连接顶点的边是有向边（弧）
• ---- ----
• 有向图和无向图的所有顶点度数之和 2e。（e为边数）
• 有向图和无向图的边数 e = 顶点度数之和/2。

完全图：

• 概念：每对顶点之间都恰连有一条边的图。
• 无向完全图：(n*(n-1)) / 2 条边
• 有向完全图：n*(n-1) 条边

连通图：

• 连通图：无向图中任意两个顶点之间都有路径。最少有n-1条边，最多有(n*(n-1))/2条边。
• 强连通图：有向图中任意两个顶点之间都有路径。 最少有n条边，最多有n*(n-1)条边。

最小生成树：

最小生成树-普利姆(Prim)算法：

• 贪心算法。
• 思想：从任意一个顶点开始，沿着权重最小的边进行扩展。
• 时间复杂度：O[n2]

最小生成树-克鲁斯卡尔(Kruskal)算法：

• 贪心算法。
• 思想：每次选择权重最小的边来将两个顶点连接起来。
• 时间复杂度为O[elog e]。

----- ----- -----

• 若网较稠密，则Prim算法更好。

邻接矩阵：

• 概念：表示顶点之间相邻关系的矩阵。
• 查找所有顶点的邻居顶点的时间复杂度为O(n^2)。

邻接链表表示法：

• 邻接表更适合存储稀疏图（边数很少的图）
• 无向图采用邻接表存储有2e个表结点（e为边数）。
• 有向图采用邻接表存储有n+e个表结点（n为结点数，e为边数） 。

哈希表：

• 用线性探测法解决冲突容易产生聚集问题。

查找：

折半（二分）查找：

• 折半查找在查找成功时，关键字的比较次数最多为 log2(n) +1 。
• 折半查找的时间复杂度为O(log2n)。
• 要求元素顺序存储，元素有序排列。
• 考题：
  • mid = (low+high）/2 取整， k > mid时， low = mid+1，k。并且注意细节

不能构成查找过程中关键字比较序列考题：

• 解题规律：比较序列可能是：大大大... ...大、小小小... ...小 、小大小大... ...小 大、大小大小... ...大小

排序：

• 当数列基本有序时，采用插入排序比较合适，使用插入排序中希尔排序。背
• 一定范围内的整数排序时，使用基数排序。例如：需要排序的记录是0-9的整数。
• 快速排序：采用分治思想。最坏O(n^2)，平均O（nlog2^n），一趟排序O(n)。基本有序时，快排具有最坏的情况。最佳的基准元素为中位数划分。
• 归并排序：采用分治思想。时间复杂度，最好最坏一致O（nlog2^n）。稳定。
• 堆排序：不稳定。空间复杂度O(1)。

堆：

使用数组构建大顶堆：

• 将数组转换成二叉树。
• 从最后一层的非叶子节点开始与叶子节点调整。一层一层的调整。调整过后导致已经调整的层大小顺序相反，则继续调整。