【数学】【组合数学】1830. 使字符串有序的最少操作次数

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数学组合数学

LeetCode1830. 使字符串有序的最少操作次数

给你一个字符串 s （下标从 0 开始）。你需要对 s 执行以下操作直到它变为一个有序字符串：
找到最大下标 i ，使得 1 <= i < s.length 且 s[i] < s[i - 1] 。
找到最大下标 j ，使得 i <= j < s.length 且对于所有在闭区间 [i, j] 之间的 k 都有 s[k] < s[i - 1] 。
交换下标为 i - 1 和 j 处的两个字符。
将下标 i 开始的字符串后缀反转。
请你返回将字符串变成有序的最少操作次数。由于答案可能会很大，请返回它对 10⁹ + 7 取余的结果。

示例 1：
输入：s = “cba”
输出：5
解释：模拟过程如下所示：
操作 1：i=2，j=2。交换 s[1] 和 s[2] 得到 s=“cab” ，然后反转下标从 2 开始的后缀字符串，得到 s=“cab” 。
操作 2：i=1，j=2。交换 s[0] 和 s[2] 得到 s=“bac” ，然后反转下标从 1 开始的后缀字符串，得到 s=“bca” 。
操作 3：i=2，j=2。交换 s[1] 和 s[2] 得到 s=“bac” ，然后反转下标从 2 开始的后缀字符串，得到 s=“bac” 。
操作 4：i=1，j=1。交换 s[0] 和 s[1] 得到 s=“abc” ，然后反转下标从 1 开始的后缀字符串，得到 s=“acb” 。
操作 5：i=2，j=2。交换 s[1] 和 s[2] 得到 s=“abc” ，然后反转下标从 2 开始的后缀字符串，得到 s=“abc” 。
示例 2：
输入：s = “aabaa”
输出：2
解释：模拟过程如下所示：
操作 1：i=3，j=4。交换 s[2] 和 s[4] 得到 s=“aaaab” ，然后反转下标从 3 开始的后缀字符串，得到 s=“aaaba” 。
操作 2：i=4，j=4。交换 s[3] 和 s[4] 得到 s=“aaaab” ，然后反转下标从 4 开始的后缀字符串，得到 s=“aaaab” 。
示例 3：
输入：s = “cdbea”
输出：63
示例 4：
输入：s = “leetcodeleetcodeleetcode”
输出：982157772

提示：
1 <= s.length <= 3000
s 只包含小写英文字母。

组合数学

令 n= s.length
这个操作本质是：求前一字典序的s排列。本题 $\iff$ s的排列中有多少个字典序小于s。
i < j ,交换s[i]和s[j]。
$\begin{cases} 字典序变小 & s[i] > s[j] \\ 字典序不变 & s[i]==s[j] \\ 字典序变大 & s[i] < s[j] \\ \end{cases}$
令i1 < i2 ,i1 < j1 ,i2 < j2 s[i1] > s[j1] s[i2] > s[j2]
s交换s[i1]和s[j1]后，结果为t1。
s交换s[i2]和s[j2]后，结果为t2。
则t1< t2，因为t1[i1] < t2[i1]。

求排列的前一个字典序

计算最大下标i，使得存在s[x]<s[i],x $\in$ (i,n)。 $\rightarrow$ i1 $\in$ (i,n) x1 $\in$ (x1,n)，不存在s[x1] < s[i1] $\rightarrow$
s[i+1, $\cdots$ …,n) 设升序排列。本题解的i就是题目的i-1。
寻找j，使得s[j] < s[i]，有多个符合的s[j]，取值最大的s[j]。由于s[i+1, $\dots$ ,n)是升序，所以题解的j，就是题目的j。
交换s[i]和s[j]。
s[i]变小后，后面的字符无论如何变大，都是变小。故让s[i+1,n)变最大，即降序排列。目前是升序排列，反转即可达到目标。

求字典序小于s的排列数量

字典序列小于s的排列t有如下特征：前k位相同,k $\in$ [0,n-1]。t[k] < s[k] ，t[k+1, $\cdots$ ,n)不限。假定后面有a个’a’,b个’b’，如果求数量？
假定’a’不同不，则共有(a+b)! 种排放, 考虑到‘a’ 是相同的则 a! 种是相同的，考虑到’b’是相同的，则b! 中不同。
!是阶乘，故：结果为 (a+b)!/a!/b!。

代码

核心代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD){}C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);}C1097Int& operator+=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int& operator-=(const C1097Int& o){m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator-(const C1097Int& o){return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);}C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const{return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;}C1097Int& operator*=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;}bool operator<(const C1097Int& o)const{return m_iData < o.m_iData;}C1097Int pow(long long n)const{C1097Int iRet = 1, iCur = *this;while (n){if (n & 1){iRet *= iCur;}iCur *= iCur;n >>= 1;}return iRet;}C1097Int PowNegative1()const{return pow(MOD - 2);}int ToInt()const{return m_iData;}
private:int m_iData = 0;;
};class Solution {
public:int makeStringSorted(string s) {int cnt[26] = { 0 };vector<C1097Int<>> fac(s.length() + 1, 1);for (int i = 2; i <= s.length(); i++){fac[i] = fac[i - 1] * i;}C1097Int<> biRet;for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--){const int n = s[i] - 'a';for (int ii = 0; ii < n; ii++){if (0 == cnt[ii]){continue;}C1097Int<> biDiv = 1;for (int j = 0; j < 26; j++){					biDiv *= fac[cnt[j]-(j == ii ) + ( j == n )];}biRet += fac[s.length() - 1 - i]  * biDiv.PowNegative1();}			cnt[n]++;}return biRet.ToInt();}
};


template<class T,class T2>
void Assert(const T& t1, const T2& t2)
{assert(t1 == t2);
}template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{if (v1.size() != v2.size()){assert(false);return;}for (int i = 0; i < v1.size(); i++){Assert(v1[i], v2[i]);}}int main()
{string s ;{Solution sln;s = "aabaa";auto res = sln.makeStringSorted(s);Assert(2, res);}{Solution sln;s =  "cdbea";auto res = sln.makeStringSorted(s);Assert(63, res);}{Solution sln;s = "leetcodeleetcodeleetcode";auto res = sln.makeStringSorted(s);Assert(982157772, res);}{Solution sln;s = "cba";auto res = sln.makeStringSorted(s);Assert(5, res);}
}

2023年9月

class Solution {
public:
int makeStringSorted(const string s) {
m_c = s.length();
vector<C1097Int<>> vRangeMul = { 1 };
for (int i = 1; i <= m_c; i++)
{
vRangeMul.emplace_back(vRangeMul.back() * i);
}
int nums[26] = { 0 };
C1097Int<> biRet = 0;
nums[s.back() - ‘a’]++;
for (int i = m_c - 1 - 1; i >= 0; i–)
{
const int iLessNum = std::accumulate(nums, nums + (s[i] - ‘a’), 0);
if (iLessNum > 0)
{//可以调整顺序
const int iRightNum = m_c - (i+1);
nums[s[i] - ‘a’]++;
C1097Int tmp = vRangeMul[iRightNum];
for (int k = 0; k < 26; k++)
{
tmp = vRangeMul[nums[k]].PowNegative1();
}
for (int j = 0; j < s[i]-‘a’; j++)
{
if (0 == nums[j])
{
continue;
}
biRet += tmp * vRangeMul[nums[j]] vRangeMul[nums[j] - 1].PowNegative1();
}
nums[s[i] - ‘a’]–;
}
nums[s[i] - ‘a’]++;
}
return biRet.ToInt();
}
int m_c;
};

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标及时的反馈拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

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我想对大家说的话
闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛