初阶数据结构：二叉树（补充扩展）

目录

  • 1. 堆排序
    • 1.1补充：建堆的时间复杂度
    • 1.2 堆排序：升序与降序
  • 2. TopK问题
  • 3. 二叉树的链式结构及其遍历方式
    • 3.1 二叉树的链式结构
    • 3.2 二叉树的前序遍历
    • 2.2 二叉树的中序遍历
    • 2.3 后序遍历
    • 2.4 层序遍历
  • 4. 二叉树OJ练习
    • 4.1 单值二叉树
    • 4.2 判断两棵二叉树是否相等
    • 4.3 判断对称二叉树
    • 4.4 另一棵二叉树的子树
    • 4.5 二叉树的构建与销毁
    • 4.6 判断二叉树是否为完全二叉树
    • 4.7 补充练习
      • 4.7.1 二叉树的节点数
      • 4.7.2 二叉树的叶子节点数
      • 4.7.3 二叉树的第K层结点数
      • 4.7.4 查找二叉树中为x值的结点

1. 堆排序

1.1补充：建堆的时间复杂度

这里使用满二叉树近似计算，向下调整法建堆的时间复杂度：

在这里插入图片描述

等比数列求和，得需调整n - log(n + 1)，时间复杂度为O(n)

1.2 堆排序：升序与降序

思路：我们先建堆，然后将堆顶（堆顶元素总是为最大或最小）的元素与尾部元素交换，size–，然后向下调整，直至堆为空。

  1. 排升序，建大堆（大堆的父亲结点都大于小堆）
  2. 排降序，建小堆

代码实现如下：

void HeapAdjustDown(int* arr, int n, int parent)
{//n为元素个数int child = parent * 2 + 1;while (child < n){if (child + 1 < n && arr[child] < arr[child + 1]){child++;}if (arr[parent] < arr[child]){swap(&arr[parent], &arr[child]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}int arr[] = { 27,15,18,28,34,65,49,25,37 };
//向下调整建堆
int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{HeapAdjustDown(arr, n, i);
}ArrPrint(arr, n);//交换首尾元素，size--，再向下调整
int size = n;
while (size)
{swap(&arr[0], &arr[size - 1]);size--;HeapAdjustDown(arr, size, 0);
}

2. TopK问题

当数据量很大时，且为乱序，数据无法一下全部加载到内存中，所以整体排序无法得出最大或最小的前K个数，那么，如何快速得出前K个最大/最小数。

思路：
先于数据首部建一个大小为K的

  1. 得出最大，建小堆
  2. 得出最小，建大堆

然后，再将剩余的N- K个数据与堆顶元素比较

  1. 当需要最大的数时，若比较元素大于堆顶元素，则交换二者再进行向下调整。
  2. 当需要最小的数时，若比较元素小于堆顶元素，则交换二者再进行向下调整。
void HeapAdjustDown2(int* arr, int n, int parent)
{//n为元素个数int child = parent * 2 + 1;while (child < n){if (child + 1 < n && arr[child] > arr[child + 1]){child++;}if (arr[parent] > arr[child]){swap(&arr[parent], &arr[child]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}void TopK(int* arr, int k, int n)
{//筛选k个最大的数//在数据顶部建一个大小为k的小堆for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){HeapAdjustDown2(arr, k, i);}//若遍历到大于堆顶的元素，交换并向下调整for (int j = k; j < n; j++){if (arr[j] > arr[0]){swap(&arr[j], &arr[0]);HeapAdjustDown2(arr, k, 0);}}
}

3. 二叉树的链式结构及其遍历方式

3.1 二叉树的链式结构

在前面的学习中，我们已经了解到，二叉树的结构由三部分组成根，左子树，右子树。

在这里插入图片描述

当我们使用链式存储的方式构建二叉树时，其结点的结构定义如下：

typedef struct TreeNode
{int val;//左子树指针struct TreeNode* left;//右子树指针struct TreeNode* right;
}

根据逻辑遍历的方式顺序不同，二叉树的遍历方式分为四种：前序，中序，后序，层序

3.2 二叉树的前序遍历

  1. 遍历逻辑顺序：根结点，左子树，右子树（根左右）
  2. 题目链接：
    前序遍历
void preorder_part(struct TreeNode* root, int* arr, int* size)
{if(root == NULL){return;}arr[*size] = root->val;(*size)++;preorder_part(root->left, arr, size);preorder_part(root->right, arr, size);
}int* preorderTraversal(struct TreeNode* root, int* returnSize) 
{//根左右//为空树时，不反回空指针//返回数组*returnSize = 0;int* arr = (int*)malloc(100 * sizeof(int));preorder_part(root, arr, returnSize);return arr;
}

2.2 二叉树的中序遍历

  1. 遍历逻辑顺序：左根右
  2. 题目链接：
    中序遍历
void inorder_part(struct TreeNode* root, int* arr, int* size)
{if(root == NULL){return;}inorder_part(root->left, arr, size);arr[*size] = root->val;(*size)++;inorder_part(root->right, arr, size);
}int* inorderTraversal(struct TreeNode* root, int* returnSize) 
{*returnSize = 0;int* arr = (int*)malloc(100 * sizeof(int));inorder_part(root, arr, returnSize);return arr;    
}

2.3 后序遍历

  1. 遍历逻辑顺序：左右根
  2. 题目链接：
    后序遍历
void postorder_part(struct TreeNode* root, int* arr, int* size)
{if(root == NULL){return;}postorder_part(root->left, arr, size);postorder_part(root->right, arr, size);arr[*size] = root->val;(*size)++;
}int* postorderTraversal(struct TreeNode* root, int* returnSize) 
{*returnSize = 0;int* arr = (int*)malloc(100 * sizeof(int));postorder_part(root, arr, returnSize);return arr;        
}

2.4 层序遍历

遍历逻辑：依次按层进行遍历（利用队列存储子节点）

void LevelOrder(TreeNode* root)
{Queue q1;QueueInit(&q1);QueuePush(&q1, root);TreeNode* top = QueueFront(&q1);while (!QueueEmpty(&q1)){if (top){QueuePush(&q1, top->left);QueuePush(&q1, top->right);}if (top){printf("%c ", top->val);}else{printf("NULL ");}QueuePop(&q1);if (!QueueEmpty(&q1)){top = QueueFront(&q1);}}
}

4. 二叉树OJ练习

4.1 单值二叉树

  1. 题目信息：
    在这里插入图片描述
  2. 题目链接：
    单值二叉树
  3. 思路：任选一种遍历方式遍历整个二叉树，同时判断左右孩子结点的值等于父亲结点的值
bool isUnivalTree(struct TreeNode* root) 
{if(root == NULL){return true;}if(root->left && root->val != root->left->val){return false;}if(root->right && root->val != root->right->val){return false;}return isUnivalTree(root->left) && isUnivalTree(root->right);    
}

4.2 判断两棵二叉树是否相等

  1. 题目信息：
    在这里插入图片描述
  2. 题目链接：
    判断两颗二叉树是否相等
    3 . 思路：按同样顺序遍历两棵树，同时判断
bool isSameTree(struct TreeNode* p, struct TreeNode* q) 
{//调整逻辑顺序，不出现越界情况//二者都为NULLif(p == NULL && q == NULL){return true;}//有一个为NULLif(p && q == NULL){return false;}if(q && p == NULL){return false;}//都不为NULLif(p->val != q->val){return false;}return isSameTree(p->left, q->left) && isSameTree(p->right, q->right);
}

4.3 判断对称二叉树

  1. 题目信息：
    在这里插入图片描述
  2. 题目链接：
    对称二叉树
  3. 思路：按照对称的遍历方式，遍历判断二叉树的左右子树
bool order_part(struct TreeNode* left, struct TreeNode* right)
{if(left == NULL && right == NULL){return true;}if(left && right == NULL){return false;}if(right && left == NULL){return false;}if(left->val != right->val){return false;}return order_part(left->left, right->right) && order_part(left->right, right->left);
}bool isSymmetric(struct TreeNode* root) 
{return order_part(root->left, root->right);
}

4.4 另一棵二叉树的子树

1.题目信息：
在这里插入图片描述
2. 题目链接：
另一颗树的子树
3. 思路：遇到与配对子树的根节点相同的结点即开始配对，直至遍历完整个树。
4. 注：将逻辑，语言转换（翻译）为代码

bool isSameTree(struct TreeNode* p, struct TreeNode* q) 
{//调整逻辑顺序，不出现越界情况//二者都为NULLif(p == NULL && q == NULL){return true;}//有一个为NULLif(p && q == NULL){return false;}if(q && p == NULL){return false;}//都不为NULLif(p->val != q->val){return false;}return isSameTree(p->left, q->left) && isSameTree(p->right, q->right);
}bool isSubtree(struct TreeNode* root, struct TreeNode* subRoot)
{if(root == NULL){return false;}if(root->val == subRoot->val && isSameTree(root, subRoot)){return true;}return isSubtree(root->left, subRoot) || isSubtree(root->right, subRoot);
}

4.5 二叉树的构建与销毁

  1. 题目信息:
    在这里插入图片描述
  2. 题目链接：
    二叉树的构建与遍历
  3. 先创建根结点，再依次创建左子树，右子树
typedef struct TreeNode
{char val;struct TreeNode* left;struct TreeNode* right;
}TreeNode;void inorder_part(struct TreeNode* root, char* arr, int* size)
{if (root == NULL){return;}inorder_part(root->left, arr, size);arr[*size] = root->val;(*size)++;inorder_part(root->right, arr, size);
}char* inorderTraversal(struct TreeNode* root, int* returnSize)
{//根左右//为空树时，不反回空指针//返回数组*returnSize = 0;char* arr = (char*)malloc(100 * sizeof(int));inorder_part(root, arr, returnSize);return arr;
}TreeNode* BuyTreeNode(char val)
{TreeNode* newnode = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));newnode->val = val;newnode->left = newnode->right = NULL;return newnode;
}TreeNode* BinaryTreeCreate(char* a, int n, int* pi)
{TreeNode* root = NULL;if (a[*pi] == '#'){(*pi)++;return NULL;}if (a[*pi] != '#'){root = BuyTreeNode(a[*pi]);}(*pi)++;root->left = BinaryTreeCreate(a, n, pi);root->right = BinaryTreeCreate(a, n, pi);return root;
}int main()
{char* a = (char*)malloc(100 * sizeof(char));char str;int count = 0;while(scanf("%c", &str) != EOF){a[count++] = str;}int i = 0;TreeNode* root = BinaryTreeCreate(a, strlen(a), &i);int returnSize = 0;char* ret = inorderTraversal(root, &returnSize);for (int j = 0; j < returnSize; j++){printf("%c ", ret[j]);}return 0;
}

二叉树的销毁：

void BinaryTreeDestory(TreeNode* root)
{//后序遍历if (root == NULL){return;}BinaryTreeDestory(root->left);BinaryTreeDestory(root->right);free(root);
}

4.6 判断二叉树是否为完全二叉树

思路：使用层序遍历，如果出现NULL后，又出现非NULL指针，那么此树就不是完全二叉树，反之，则是。

int BinaryTreeComplete(TreeNode* root)
{//层序遍历判断是否为完全二叉树Queue q1;QueueInit(&q1);QueuePush(&q1, root);TreeNode* top = QueueFront(&q1);//标志有NULL指针出现int count = 0;while (!QueueEmpty(&q1)){if (top){QueuePush(&q1, top->left);QueuePush(&q1, top->right);}if (top == NULL){count++;}if (count && top){return 0;}QueuePop(&q1);if (!QueueEmpty(&q1)){top = QueueFront(&q1);}}return 1;
}

4.7 补充练习

4.7.1 二叉树的节点数

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(TreeNode* root)
{//根结点 + 左子树结点 + 右子树结点if (root == NULL){return 0;}return BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}

4.7.2 二叉树的叶子节点数

// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(TreeNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}if (root->left == NULL && root->right == NULL){return 1;}return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

4.7.3 二叉树的第K层结点数

// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(TreeNode* root, int k)
{if (k == 0){return 1;}return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

4.7.4 查找二叉树中为x值的结点

// 二叉树查找值为x的节点
TreeNode* BinaryTreeFind(TreeNode* root, char x)
{//没找到if (root == NULL){return NULL;}//找到了if (root->val == x){return root;}//在左侧找TreeNode* left = BinaryTreeFind(root->left, x);//在右侧找TreeNode* right = BinaryTreeFind(root->right, x);if (left){return left;}return right;
}

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