滑雪

题目描述

Michael喜欢滑雪，这并不奇怪，因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道在一个区域中的最长底滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子
1  2  3  4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9
一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可滑行的滑坡为24-17-16-1。当然25-24-23-...-3-2-1更长。事实上，这是最长的一条。

关于输入

输入的第一行表示区域的行数R和列数C(1<=R,C<=500)。下面是R行，每行有C个整数，代表高度h，0<=h<=1000000。

关于输出

输出最长区域的长度。

例子输入

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

例子输出

25

解题分析

起初一看，觉得是一个用DFS深度优先搜索的题无疑了，于是用一个go函数，并遍历每个位置，从每个位置开始搜索，并时刻更新搜索的长度和保留最大值，同时，也合理地存储了当前位置下的长度，并在其他搜索路径经过此处时，判断长度是否要更小，如果更小，说明这是一种无效的情况，可以提前退出减枝操作。于是有了下面的代码:

代码演示1

#include <iostream>
using namespace std;
int R,C,mountains[505][505],res[505][505];
int ans=1,dx[]={-1,1,0,0},dy[]={0,0,-1,1};void go(int x,int y,int step){if(step>ans){ans=step;}if(step<=res[x][y]){return;}for(int i=0;i<4;i++){int nx=dx[i]+x,ny=dy[i]+y;if(nx>=0 && nx<R && ny>=0 && ny<C && mountains[nx][ny]<mountains[x][y]){go(nx,ny,step+1);}}res[x][y]=step;return;
}int main(){scanf("%d%d",&R,&C);for(int i=0;i<R;i++)for(int j=0;j<C;j++){scanf("%d",&mountains[i][j]);}for(int i=0;i<R;i++)for(int j=0;j<C;j++){go(i,j,1);}printf("%d",ans);return 0;
}

首先，本代码在思路以及算法的实现上都不存在问题，总的来说，这是个正确的代码。不过，它有个致命的缺陷，就是在一些特定的情况下递归深度会过大，从而导致栈溢出，programerror！实际上，我们也许根本不用调用那么多栈。

于是来看动态规划的思路：

我们假定dp[i][j]是从(i,j)位置开始寻找所能到达的最大长度，我们可以发现，dp[i][j]=max(dp[x-1][y]+1,dp[x+1][y]+1,dp[x][y-1]+1,dp[x][y+1]+1)，于是动态规划的转移方程就出来啦。当前位置所能递推的最大深度，就是它周围格子所能递推的最大深度再+1就可以了。

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;
int R,C,mountains[505][505],dp[505][505];
int ans=1,dx[]={-1,1,0,0},dy[]={0,0,-1,1};int go(int x,int y){if(dp[x][y]){return dp[x][y];}int step=1;for(int i=0;i<4;i++){int nx=x+dx[i],ny=y+dy[i];if(nx>=0 && nx<R && ny>=0 && ny<C && mountains[nx][ny]<mountains[x][y]){step=max(step,go(nx,ny)+1);}}return dp[x][y]=step;
}int main(){scanf("%d%d",&R,&C);for(int i=0;i<R;i++)for(int j=0;j<C;j++){scanf("%d",&mountains[i][j]);}for(int i=0;i<R;i++)for(int j=0;j<C;j++){ans=max(ans,go(i,j));}printf("%d",ans);return 0;
}