目录

70. 爬楼梯（进阶版）

前言

思路

算法实现

 322. 零钱兑换

 前言

思路

 279.完全平方数

前言

思路

算法实现 

总结

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70. 爬楼梯（进阶版）

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前言

        本题是70. 爬楼梯问题的进阶版，每次可以跳跃的台阶数之多为m阶，可以用完全背包的方法解决。

思路

        利用动规五部曲进行分析：

1.确定dp数组及其下标含义：

        dp[j]：爬上第j阶楼梯有dp[j]种不同的方法。

2.确定递推公式：

        本题依旧是求装满背包有几种方法类型的题目，依然是递推公式dp[j] += dp[j - nums[i]]，本题中为dp[j] += dp[j - i]；

3.dp数组初始化：

        既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。

        下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果。

4.确定遍历顺序：

        本题是一道排列问题，因为先跳两步后跳一步，和先跳一步再跳两步是有区别的。因此遍历顺序是先遍历背包，再遍历物品。

5.打印dp数组：

        省略。

算法实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int main() {int n, m;cin >> n >> m;vector <int> dp (n + 1, 0);dp[0] = 1;for (int j = 1; j <= n; j++) {for (int i = 1; i <= m; i++){if (j >= i) dp[j] += dp[j - i];}}cout << dp[n] << endl;
}

 322. 零钱兑换

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 前言

        本题与零钱兑换II有些类似，零钱兑换II是求凑成总金额有多少种不同的方法，而本题是凑成总金额最少的硬币个数。

思路

        题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。利用动规五部曲进行分析：

1.确定dp数组及其下标的含义：

        dp[j]：凑层总金额j所需要的最少硬币个数为dp[j]；

2.确定递推公式：

        凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]，所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。

        递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

3.初始化dp数组：

        首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0；对于其他下标，由于递推公式求得是最小值，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。所以下标非0的元素都是应该是最大值（INT_MAX）；

4.确定遍历顺序：

        本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。所以本题并不强调集合是组合还是排列。

        因此对于求装满背包的最多物品个数和最少物品个数，不需要考虑组合排列问题，即先遍历背包和先遍历物品都可以。

5.打印dp数组：

        以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例，最终得到的dp数组如下：

算法实现

class Solution {
public:int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);dp[0] = 0;for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {for (int j = coins[i]; j <= amount ; j++) {if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) {dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);}}}if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;return dp[amount];}
};

 279.完全平方数

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前言

        本题也是一道完全背包问题，转换一下题目语言就是：要装满一个容量为n的背包所使用的最少物品个数是多少？

思路

        本题的整体思路与上一题零钱兑换类似，都是求装满背包的最少物品个数，唯一的不同就是这次没有给物品的集合。采用动规五部曲进行分析：

1.确定dp数组及其下标含义：

        dp[j]：要装满容量为j的背包最少的物品个数为dp[j]；

2.确定递推公式：

        dp[j] = min(dp[j - i] + 1, dp[j])；

3.初始化dp数组：

        dp[0]表示和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0。其余下标依旧初始化为最大值INT_MAX；

4.确定遍历顺序：

        求装满背包的最小数量，不用考虑组合排列问题，遍历顺序没有要求；

5.打印dp数组：

        已输入n为5例，dp状态图如下：

算法实现 

class Solution {
public:int numSquares(int n) {vector<int> dp (n + 1, INT_MAX);dp[0] = 0;for (int i = 1; i * i <= n; i++) {for (int j = i * i; j <= n; j++) {dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);}}return dp[n];}
};

总结

        今天学会了背包问题之处理装满背包最少物品的方法，对于背包问题的处理感觉有点感觉了。