算法训练营Day48

#Java #动态规划

Feeling and experiences：

回文子串：力扣题目链接

给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。

回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。

子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。

具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。

示例 1：

输入：s = "abc"
输出：3
解释：三个回文子串: "a", "b", "c"

动态规划在回文子串上的运用

之前做回文子串的问题，一般会用到双指针和回溯

class Solution {public int countSubstrings(String s) {int n = s.length();  // 字符串的长度int ans = 0;  // 记录回文子串的个数for (int i = 0; i < 2 * n - 1; ++i) {int l = i / 2, r = i / 2 + i % 2;  // 根据奇偶性确定回文中心的左右边界while (l >= 0 && r < n && s.charAt(l) == s.charAt(r)) {--l;  // 向左扩展++r;  // 向右扩展++ans;  // 找到一个新的回文子串}}return ans;  // 返回最终的回文子串个数}
}

双指针的思路很简单：

就是遍历每个可能的中心点，然后我们从中心点用两个指针开始遍历元素，判断是否为回文

至于中心点为什么是 2*n - 1 个：

（来自力扣评论中的一条解释）：

为什么是2n-1个中心点？

如果回文串是奇数，我们把回文串中心的那个字符叫做中心点，如果回文串是偶数我们就把中间的那两个字符叫做中心点。

对于一个长度为n的字符串，我们可以用它的任意一个字符当做中心点，所以中心点的个数是n。我们还可以用它任意挨着的两个字符当做中心点，所以中心点是n-1，总的中心点就是2*n-1。

动态规划的做法：

class Solution {public int countSubstrings(String s) {int len = s.length();boolean[][] dp = new boolean[len][len];  // dp[i][j] 表示从索引 i 到 j 的子串是否为回文int result = 0;  // 记录回文子串的个数for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {for (int j = i; j < len; j++) {if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {if (j - i <= 1) {result++;  // 单个字符或相邻字符相同，是回文子串dp[i][j] = true;} else if (dp[i + 1][j - 1]) { result++;  // 利用动态规划，如果内部子串是回文，则整个子串也是回文dp[i][j] = true;}}}}return result;}
}

使用动态规划数组 dp，其中 dp[i][j] 表示从索引 i 到 j 的子串是否为回文。
从字符串的最后一个字符开始，逆序遍历到第一个字符。这样可以确保在计算 dp[i][j] 时，dp[i+1][j-1] 已经被计算过，以便利用动态规划的结果。
在每个位置 (i, j)，检查字符 s.charAt(i) 和 s.charAt(j) 是否相同，如果相同，判断子串是否为回文：
- 如果 j - i 小于等于 1，说明子串长度为 1 或 2，一定是回文，此时增加回文子串的计数。
- 如果 j - i 大于 1，利用动态规划的结果，如果内部子串是回文，则整个子串也是回文，同样增加回文子串的计数。

最长回文子序列：力扣题目链接

给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。

子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。

示例 1：

输入：s = "bbbab"
输出：4
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bbbb" 。

该题和子串问题差不多

class Solution {public int longestPalindromeSubseq(String s) {// 本题是子序列问题，和子串问题类似// 创建dp数组，定义：区间[i,j] 左闭右闭 最大的回文子序列为dp[i][j]int[][] dp = new int[s.length()][s.length()];// 初始化为 java 默认为0// 循环，遍历for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) {for (int j = i; j < s.length(); j++) {if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {if (j - i <= 1) {dp[i][j] = j - i + 1;} else {dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;}} else {dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], Math.max(dp[i][j - 1], dp[i][j]));}}}return dp[0][s.length() - 1];}
}

从字符串的末尾开始循环，外层循环变量为 i，内层循环变量为 j。这样可以确保在计算 dp[i][j] 时，dp[i+1][j-1] 已经被计算过，以便利用动态规划的结果。
对于每一对索引 (i, j)，如果 s[i] 和 s[j] 相等，那么：
- 如果 j - i 小于等于 1，说明子串长度为 1 或 2，直接赋值 dp[i][j] = j - i + 1。
- 否则，利用动态规划的结果，dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2。
如果 s[i] 和 s[j] 不相等，那么 dp[i][j] 取左边、上边和左上角三个位置的最大值，即 dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], Math.max(dp[i][j - 1], dp[i][j]))。