简介

两个总体均值差的区间估计是指，在给定的置信水平下，估计两个总体均值差的置信区间。两个总体均值差的区间估计的公式为：

$${\overline{X}}_1-{\overline{X}}_2\pm t_{\alpha /2,n_1+n_2-2}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}$$

其中，${\overline{X}}_1$和${\overline{X}}_2$分别是两个总体的样本均值，$s_1^2$和$s_2^2$分别是两个总体的样本方差，$n_1$和$n_2$分别是两个总体的样本容量，$t_{\alpha /2,n_1+n_2-2}$是置信水平为$\alpha$，自由度为$n_1+n_2-2$的t分布的临界值。

应用

两个总体均值差的区间估计在实际工程中有广泛的应用，例如：

• 产品质量控制：在产品质量控制中，需要对两个不同批次的产品的质量进行比较。两个总体均值差的区间估计可以用来估计两个批次产品质量的差异，并判断两个批次产品是否满足质量要求。
• 医学研究：在医学研究中，需要对两种不同治疗方法的疗效进行比较。两个总体均值差的区间估计可以用来估计两种治疗方法的疗效差异，并判断两种治疗方法是否具有统计学意义。
• 市场调查：在市场调查中，需要对两个不同产品的市场份额进行比较。两个总体均值差的区间估计可以用来估计两个产品的市场份额差异，并判断两个产品的市场份额是否具有统计学意义。

优缺

两个总体均值差的区间估计有以下优点：

• 简单易用，计算方便。
• 适用范围广，可以用于正态分布和非正态分布的数据。
• 可以估计两个总体均值差的置信区间，从而对两个总体均值差做出更准确的判断。

两个总体均值差的区间估计也有以下缺点：

• 需要知道两个总体的样本均值、样本方差和样本容量。
• 当两个总体的样本容量较小时，区间估计的精度较低。
• 当两个总体的方差不相等时，区间估计的精度也较低。

代码

Python代码：

import numpy as np
import scipy.stats as statsdef confidence_interval_two_sample_means(sample1, sample2, confidence_level):"""Calculates the confidence interval for the difference between two sample means.Args:sample1: The first sample.sample2: The second sample.confidence_level: The desired confidence level, as a decimal between 0 and 1.Returns:A tuple containing the lower and upper bounds of the confidence interval."""# Calculate the sample means and sample variancesmean1 = np.mean(sample1)mean2 = np.mean(sample2)var1 = np.var(sample1)var2 = np.var(sample2)# Calculate the pooled variancepooled_var = ((n1 - 1) * var1 + (n2 - 1) * var2) / (n1 + n2 - 2)# Calculate the t-statistict_stat = (mean1 - mean2) / np.sqrt(pooled_var * (1/n1 + 1/n2))# Calculate the degrees of freedomdf = n1 + n2 - 2# Calculate the critical valuecritical_value = stats.t.ppf(1 - confidence_level / 2, df)# Calculate the confidence intervallower_bound = mean1 - mean2 - critical_value * np.sqrt(pooled_var * (1/n1 + 1/n2))upper_bound = mean1 - mean2 + critical_value * np.sqrt(pooled_var * (1/n1 + 1/n2))return lower_bound, upper_bound# Example usage
sample1 = np.random.normal(10, 2, 100)
sample2 = np.random.normal(12, 3, 100)
confidence_level = 0.95
lower_bound, upper_bound = confidence_interval_two_sample_means(sample1, sample2, confidence_level)
print("Confidence interval:", lower_bound, upper_bound)

R代码：

# Function to calculate the confidence interval for the difference between two sample means
conf_interval_two_sample_means <- function(sample1, sample2, confidence_level) {# Calculate the sample means and sample variancesmean1 <- mean(sample1)mean2 <- mean(sample2)var1 <- var(sample1)var2 <- var(sample2)# Calculate the pooled variancepooled_var <- ((length(sample1) - 1) * var1 + (length(sample2) - 1) * var2) / (length(sample1) + length(sample2) - 2)# Calculate the t-statistict_stat <- (mean1 - mean2) / sqrt(pooled_var * (1/length(sample1) + 1/length(sample2)))# Calculate the degrees of freedomdf <- length(sample1) + length(sample2) - 2# Calculate the critical valuecritical_value <- qt(1 - confidence_level / 2, df)# Calculate the confidence intervallower_bound <- mean1 - mean2 - critical_value * sqrt(pooled_var * (1/length(sample1) + 1/length(sample2)))upper_bound <- mean1 - mean2 + critical_value * sqrt(pooled_var * (1/length(sample1) + 1/length(sample2)))return(c(lower_bound, upper_bound))
}# Example usage
sample1 <- rnorm(100, 10, 2)
sample2 <- rnorm(100, 12, 3)
confidence_level <- 0.95
conf_interval <- conf_interval_two_sample_means(sample1, sample2, confidence_level)
print(paste("Confidence interval:", conf_interval[1], conf_interval[2]))

注意

• 在使用两个总体均值差的区间估计时，需要知道两个总体的样本均值、样本方差和样本容量。
• 当两个总体的样本容量较小时，区间估计的精度较低。
• 当两个总体的方差不相等时，区间估计的精度也较低。
• 在使用两个总体均值差的区间估计时，需要选择合适的置信水平。置信水平越高，区间估计的精度越高，但区间估计的宽度也越大。