PAGE

PAGE 10

北大计算机考研 高等数学真题解答

2008 年(5 题 60 分)

1 (12 分) f (x) 有连续的二阶导数， f (a)  0 ，求lim

xa

1

f (x  a)  f (a)

1

f (a) 。

2 (12 分) f (x) 在a,b上连续且 f (a)  f (b)  0 ， f (a) f (b)  0，证明：在a, b

上必有一点u 使得 f (u)  0 。

3 (12 分)求不定积分

1  ln x

(x  ln x)2





dx 。

0x tf (x2  t 2

0

4 (12 分) f (0)  0 且 f

(0)  0 ， f (x) 有连续的导数，求lim

x0

dx 。

x4

5 (12 分) f (x) 在0 附近可导且导数大于 0，证明无穷级数 f ( 1 ) 发散，无穷级

n

数(1)n

f ( 1 )

n

收敛。

2007 年(5 题 60 分)

(12 分)求不定积分e2 x (tan x 1)2 dx 。

解： e2 x (tan x 1)2 dx  e2 x sec2 xdx   e2 x 2 tan xdx 

 e2 xd tan x  e2x tan x   e2 xd tan x  e2x tan x  C 。

1(12 分)求连续函数 f (x) ，使它满足0 f (tx)dt 

1

f (x)  x sin x, f (0)  0 。

解：令u  tx, 则t  0 时， u  0 ， t  1时， u  x ， du  xdt ；

10 f (tx)dt 

1

x f (u)du 

x 0



f (x)  xsin x  x f (u)du  xf (x)  x2 sin x 

0



f (x)  f (x)  xf (x)  2xsin x  x2 cos x  f (x)  2sin x  xcosx 

f (x)  cosx  xsin x  C 

f (0) 1 C  0  C  1 

f (x)  cos x  xsin x 1。

3 (12 分)设0  x1

 y1 , x

n1 

xn yn，y

n1

 xn  yn ,(n  1,2,) 。

2

证明： lim xn 和 lim yn 都存在并相等。

n n

xn yn解： y1  x1  0  xn  0, yn  0，xn  yn  xn  yn 

xn yn

yn1  xn1 (n  0,1,)  yn  xn (n  1,2,) ；

yn  xn

(n  1,2,)  y

n1

yn

 xn  yn  0  y

xn yn

xn yn

xn xn

n1

 yn

 {yn }单调递减；

yn  xn (n  1,2,)  xn1 

由以上两结论可知：

 xn  {xn } 单调递增；

yn  xn  x1  {yn } 有下界，于是lim yn 存在；



n

xn  yn    y1  {xn } 有上界，于是lim xn 存在。



n

n令lim x

n

x

 A, lim y

nx

n

 B ，由 x

n1 

xn yn，y

n1

 xn  yn 有 ：

2

A AB，B  A  B 解得 A  B  1，所以lim x

 lim y

 1 。

2x n

x n

n4 (12 分)求和 S  x  22 x2  32 x3  n2 xn 。

n

nx解：(1) 若 x  1， S  1 22  32  n2  n(n 1)(2n 1) / 6 ；

n

x

(2) 若 x  1 ， Sn

x  1 22 x  32 x2  n2 xn1  T

 0 (Sn

x)dx 

nnx  2x2  3x3  nxn  T

n

n

x  1 2x  3x2  nxn1 

nn

x23

nx(1 x )

 x(1 x ) 

0 (Tn

x)dx  x  x

 x  x 

1 x

 Tn  x



1 x 

nn1