二叉堆的介绍

二叉堆是完全二元树或者是近似完全二元树，按照数据的排列方式可以分为两种：最大堆和最小堆。

• 最大堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值；
• 最小堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。

示意图如下：

二叉堆一般都通过”数组”来实现。数组实现的二叉堆，父节点和子节点的位置存在一定的关系。有时候，我们将”二叉堆的第一个元素”放在数组索引0的位置，有时候放在1的位置。当然，它们的本质一样(都是二叉堆)，只是实现上稍微有一丁点区别。
假设”第一个元素”在数组中的索引为 0 的话，则父节点和子节点的位置关系如下：
(01) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);
(02) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+2);
(03) 索引为i的父结点的索引是 floor((i-1)/2);

实现

以最大堆为例

template <class T>
class MaxHeap{private:T *mHeap;        // 数据int mCapacity;    // 总的容量int mSize;        // 实际容量private:// 最大堆的向下调整算法void filterdown(int start, int end);// 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)void filterup(int start);public:MaxHeap();MaxHeap(int capacity);~MaxHeap();// 返回data在二叉堆中的索引int getIndex(T data);// 删除最大堆中的dataint remove(T data);// 将data插入到二叉堆中int insert(T data);// 打印二叉堆void print();
};

添加

假设在最大堆[90,80,70,60,40,30,20,10,50]种添加85，需要执行的步骤如下

如上图所示，当向最大堆中添加数据时：先将数据加入到最大堆的最后，然后尽可能把这个元素往上挪，直到挪不动为止！
将85添加到[90,80,70,60,40,30,20,10,50]中后，最大堆变成了[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]。

/** 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)** 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。** 参数说明：*     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)*/
template <class T>
void MaxHeap<T>::filterup(int start)
{int c = start;            // 当前节点(current)的位置int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置 T tmp = mHeap[c];        // 当前节点(current)的大小while(c > 0){if(mHeap[p] >= tmp)break;else{mHeap[c] = mHeap[p];c = p;p = (p-1)/2;   }       }mHeap[c] = tmp;
}/* * 将data插入到二叉堆中** 返回值：*     0，表示成功*    -1，表示失败*/
template <class T>
int MaxHeap<T>::insert(T data)
{// 如果"堆"已满，则返回if(mSize == mCapacity)return -1;mHeap[mSize] = data;        // 将"数组"插在表尾filterup(mSize);    // 向上调整堆mSize++;                    // 堆的实际容量+1return 0;
}

删除

假设从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除90，需要执行的步骤如下：

/* * 最大堆的向下调整算法** 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。** 参数说明：*     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)*     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)*/
template <class T>
void MaxHeap<T>::filterdown(int start, int end)
{int c = start;          // 当前(current)节点的位置int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置T tmp = mHeap[c];    // 当前(current)节点的大小while(l <= end){// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子if(l < end && mHeap[l] < mHeap[l+1])l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即mHeap[l+1]if(tmp >= mHeap[l])break;        //调整结束else{mHeap[c] = mHeap[l];c = l;l = 2*l + 1;   }       }   mHeap[c] = tmp;
}/** 删除最大堆中的data** 返回值：*      0，成功*     -1，失败*/
template <class T>
int MaxHeap<T>::remove(T data)
{int index;// 如果"堆"已空，则返回-1if(mSize == 0)return -1;// 获取data在数组中的索引index = getIndex(data); if (index==-1)return -1;mHeap[index] = mHeap[--mSize];    // 用最后元素填补filterdown(index, mSize-1);        // 从index位置开始自上向下调整为最大堆return 0;
}

二叉堆的C++实现(完整源码)

/*** 二叉堆(最大堆)** @author skywang* @date 2014/03/07*/#include <iomanip>
#include <iostream>
using namespace std;template <class T>
class MaxHeap{private:T *mHeap;        // 数据int mCapacity;    // 总的容量int mSize;        // 实际容量private:// 最大堆的向下调整算法void filterdown(int start, int end);// 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)void filterup(int start);public:MaxHeap();MaxHeap(int capacity);~MaxHeap();// 返回data在二叉堆中的索引int getIndex(T data);// 删除最大堆中的dataint remove(T data);// 将data插入到二叉堆中int insert(T data);// 打印二叉堆void print();
};/* * 构造函数*/
template <class T>
MaxHeap<T>::MaxHeap()
{new (this)MaxHeap(30);
}template <class T>
MaxHeap<T>::MaxHeap(int capacity)
{mSize = 0;mCapacity = capacity;mHeap = new T[mCapacity];
}
/* * 析构函数*/
template <class T>
MaxHeap<T>::~MaxHeap() 
{mSize = 0;mCapacity = 0;delete[] mHeap;
}/* * 返回data在二叉堆中的索引** 返回值：*     存在 -- 返回data在数组中的索引*     不存在 -- -1*/
template <class T>
int MaxHeap<T>::getIndex(T data)
{for(int i=0; i<mSize; i++)if (data==mHeap[i])return i;return -1;
}/* * 最大堆的向下调整算法** 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。** 参数说明：*     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)*     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)*/
template <class T>
void MaxHeap<T>::filterdown(int start, int end)
{int c = start;          // 当前(current)节点的位置int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置T tmp = mHeap[c];    // 当前(current)节点的大小while(l <= end){// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子if(l < end && mHeap[l] < mHeap[l+1])l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即mHeap[l+1]if(tmp >= mHeap[l])break;        //调整结束else{mHeap[c] = mHeap[l];c = l;l = 2*l + 1;   }       }   mHeap[c] = tmp;
}/** 删除最大堆中的data** 返回值：*      0，成功*     -1，失败*/
template <class T>
int MaxHeap<T>::remove(T data)
{int index;// 如果"堆"已空，则返回-1if(mSize == 0)return -1;// 获取data在数组中的索引index = getIndex(data); if (index==-1)return -1;mHeap[index] = mHeap[--mSize];    // 用最后元素填补filterdown(index, mSize-1);        // 从index位置开始自上向下调整为最大堆return 0;
}/** 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)** 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。** 参数说明：*     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)*/
template <class T>
void MaxHeap<T>::filterup(int start)
{int c = start;            // 当前节点(current)的位置int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置 T tmp = mHeap[c];        // 当前节点(current)的大小while(c > 0){if(mHeap[p] >= tmp)break;else{mHeap[c] = mHeap[p];c = p;p = (p-1)/2;   }       }mHeap[c] = tmp;
}/* * 将data插入到二叉堆中** 返回值：*     0，表示成功*    -1，表示失败*/
template <class T>
int MaxHeap<T>::insert(T data)
{// 如果"堆"已满，则返回if(mSize == mCapacity)return -1;mHeap[mSize] = data;        // 将"数组"插在表尾filterup(mSize);    // 向上调整堆mSize++;                    // 堆的实际容量+1return 0;
}/* * 打印二叉堆** 返回值：*     0，表示成功*    -1，表示失败*/
template <class T>
void MaxHeap<T>::print()
{for (int i=0; i<mSize; i++)cout << mHeap[i] << " ";
}int main()
{int a[] = {10, 40, 30, 60, 90, 70, 20, 50, 80};int i, len=(sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) ;MaxHeap<int>* tree=new MaxHeap<int>();cout << "== 依次添加: ";for(i=0; i<len; i++){cout << a[i] <<" ";tree->insert(a[i]);}cout << "\n== 最 大 堆: ";tree->print();i=85;tree->insert(i);cout << "\n== 添加元素: " << i;cout << "\n== 最 大 堆: ";tree->print();i=90;tree->remove(i);cout << "\n== 删除元素: " << i;cout << "\n== 最 大 堆: ";tree->print();cout << endl; system("pause");return 0;
}

效果如下