互相关函数的信号傅里叶变换形式表达以及推导

1.我们要实现怎样的目标？

如果有两个复信号，
连续信号表示为$y_1(t)$和 $y_2(t)$;
离散信号表示为$y_1(n)$和$y_2(n)$；
两个信号的互相关函数表示为$R_{y_1{y}_2}(\tau )$；
两个信号的傅里叶变换分别表示为$Y_1(w)$和$Y_2(w)$；
两个信号的互功率谱表示为$P_{y_1{y}_2}(w)$；
两个信号的卷积表示为$y_1\ast y_2$；
两个信号的共轭分别表示为$y_1^{\ast }$和$y_2^{\ast }$。

使用两个信号的傅里叶变换$Y_1(w)$和$Y_2(w)$来表示两个信号之间的互相关函数$R_{xy}(\tau )$，则可表示为：

对于连续信号：

$R_{y_1{y}_2}(\tau )$ =$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{Y}_1^{\ast }(w)Y_2(w)e^{jw\tau }dw$

对于离散信号：

$R_{y_1{y}_2}(\tau )$ = $\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{Y}_1^{\ast }(w)Y_2(w)e^{jw\tau }dw$

我们的目标是：
（1）完成公式$(1-1)$推导
（3）在推导过程中，了解互相关函数，互功率谱、卷积和共轭之间的关系

2.一些基本知识的铺垫

在进行公式推导前，我们需要进行一些基础知识的铺垫。

2.1 什么是互相关函数？什么是实信号的互相关函数？

在2.1小节，我们都是讨论实信号，在2.2小节，我们再讨论复信号。

实信号$y_1(n)$和$y_2(n)$的互相关函数，简单的来说，就是把其中一个信号（假如是$y_2(n)$）平移一段距离$\tau$，看它和另外一个信号($y_1(n)$)的相似程度。

互相关函数就是描述这个相似程度的高低，互相关函数是平移距离的函数，也就是说互相关函数随着平移距离$\tau$的变化而变化。

那么互相关函数采用什么形式来描述这种相似程度呢？

对于连续型信号，我们使用平方积分来描述这种相似程度:
$R_{y_1{y}_2}(\tau )$=${\int }_{-\infty }^{+\infty }{y}_1(t)y_2(t+\tau )dt$
如果$y_2(t)$平移一段距离$\tau$后，和$y_1(t)$越相似，那么它们的乘积再积分一定越大。

对于离散信号，我们使用平方求和来描述这种相似程度：
$R_{y_1{y}_2}(\tau )$=$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{y}_1(n)y_2(n+\tau )$
如果$y_2(t)$平移一段距离$\tau$后，和$y_1(t)$越相似，那么它们的乘积再求和一定越大。

以上的互相关函数的描述形式是基于信号平方可积或平方可和（即有限能量）的前提下才成立。

假如$y_1(t)$和$y_2(t)$（或者$y_1(n)$和$y_2(n)$）是“永远持续”的信号，那么无论是乘积积分，还是乘积求和，互相关函数都无法表示。那么对于永远持续”的信号如何描述它们之间的相似性呢？
永远持续”的信号被处理成随机过程，对于宽平稳随机过程，自相关函数定义为：

$R_{y_1{y}_2}(\tau )$=$E[y_1(t)y_2(t+\tau )]$

$R_{y_1{y}_2}(\tau )$=$E[y_1(n)y_2(n+\tau )]$

在实际的操作中，上述通过期望求互相关函数往往被处理成：
$R_{y_1{y}_2}(\tau )$=$E[y_1(t)y_2(t+\tau )]$
=$\underset{T\to -\infty }{\lim }\frac{1}{T}$${\int }_0^T$$y_1(t)y_2(t+\tau )dt$

$R_{y_1{y}_2}(\tau )$=$E[y_1(n)y_2(n+\tau )]$

=$\underset{N\to -\infty }{\lim }\frac{1}{N}$$\sum _{n=0}^{N-1}{y}_1(n)y_2(n+\tau )$

2.2什么是复信号的互相关函数？

为什么复信号要使用共轭相乘？

当$y_1(t)$和$y_2(t)$（或者$y_1(n)$和$y_2(n)$）是复信号时，互相关函数描述复信号的相似程度，这时若直接采用两个复信号相乘形式，起不到相似度叠加的效果，所以一般会取其中任一信号的共轭形式，然后在与另一信号相乘，所以互相关函数表示为:

(1)基于信号平方可积或平方可和(即有限能量)的互相关函数表达形式

$R_{y_1{y}_2}(\tau )$=${\int }_{-\infty }^{+\infty }{y}_1^{\ast }(t)y_2(t+\tau )dt$

$R_{y_1{y}_2}(\tau )$=$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{y}_1^{\ast }(n)y_2(n+\tau )$

(2)当复信号为“永久持续”的信号时

$R_{y_1{y}_2}(\tau )$=$E[y_1^{\ast }(t)y_2(t+\tau )]$

$R_{y_1{y}_2}(\tau )$=$E[y_1^{\ast }(n)y_2(n+\tau )]$

2.3什么是信号的互功率谱？互相关函数和互功率谱之间的关系？

互功率谱就是对互相关函数的傅里叶变换。
对于连续信号：
$P_{y_1{y}_2}(w)$=${\int }_{-\infty }^{+\infty }{R}_{y_1{y}_2}(\tau )e^{-jw\tau }d\tau$
所以互相关函数和互功率谱实际是一对傅里叶变换对，由此
$R_{y_1{y}_2}(\tau )$ = $\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{P}_{y_1{y}_2}(w)e^{jw\tau }dw$

对于离散信号：
$P_{y_1{y}_2}(w)$=$\sum _{\tau =-\infty }^{+\infty }{R}_{y_1{y}_2}(\tau )e^{-jw\tau }$

$R_{y_1{y}_2}(\tau )$ = $\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{P}_{y_1{y}_2}(w)e^{jw\tau }dw$

2.4卷积和两个信号卷积的傅里叶变换？

两个信号的卷积的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换的乘积。
若
$Y_1(w)$=${\int }_{-\infty }^{+\infty }{y}_1(\tau )e^{-jw\tau }d\tau$
$Y_2(w)$=${\int }_{-\infty }^{+\infty }{y}_2(\tau )e^{-jw\tau }d\tau$
则
$Y_1(w)$$Y_2(w)$=${\int }_{-\infty }^{+\infty }{y}_1(\tau )\ast y_2(\tau )e^{-jw\tau }d\tau$

3.使用两个信号的傅里叶变换表示两个信号之间的互相关函数

3.1若$y_1(t)$和$y_2(t)$为连续信号，且满足信号平方可积

则由2.1节知：

两个复信号之间的互相关函数为：

$R_{y_1{y}_2}(\tau )$=${\int }_{-\infty }^{+\infty }{y}_1^{\ast }(t)y_2(t+\tau )dt$

但现在我们要用两个信号的傅里叶变化来表示它们的互相关函数，那么可以如何表示呢？
我们首先给出表达形式如下，然后进行推导。

$R_{y_1{y}_2}(\tau )$=$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{Y}_1^{\ast }(w)Y_2(w)e^{jw\tau }dw$

因为:

$R_{y_1{y}_2}(\tau )$=${\int }_{-\infty }^{+\infty }{y}_1^{\ast }(t)y_2(t+\tau )dt$

令$t=-t^{{}^{\prime }}$,$t^{{}^{\prime }}=-t$则

$R_{y_1{y}_2}(\tau )$=${\int }_{+\infty }^{-\infty }{y}_1^{\ast }(-t^{{}^{\prime }})y_2(-t^{{}^{\prime }}+\tau )d-t^{{}^{\prime }}$
\quad\quad\quad\quad=${\int }_{+\infty }^{-\infty }{y}_1^{\ast }(-t^{{}^{\prime }})y_2(-t^{{}^{\prime }}+\tau )d-t^{{}^{\prime }}$

\quad\quad\quad\quad=${\int }_{-\infty }^{+\infty }{y}_1^{\ast }(-t^{{}^{\prime }})y_2(-t^{{}^{\prime }}+\tau )d{t}^{{}^{\prime }}$
\quad\quad\quad\quad=$y_1^{\ast }(-\tau )\ast y_2(\tau )$

由2.3节知：

$P_{y_1{y}_2}(w)$=${\int }_{-\infty }^{+\infty }{R}_{y_1{y}_2}(\tau )e^{-jw\tau }d\tau$
\quad\quad\quad\quad=${\int }_{-\infty }^{+\infty }{y}_1^{\ast }(-\tau )\ast y_2(\tau )e^{-jw\tau }d\tau$

由2.4节知：

$P_{y_1{y}_2}(w)$=${\int }_{-\infty }^{+\infty }{y}_1^{\ast }(-\tau )\ast y_2(\tau )e^{-jw\tau }d\tau$
\quad\quad\quad\quad=${\int }_{-\infty }^{+\infty }{y}_1^{\ast }(-\tau )e^{-jw\tau }d\tau \times {\int }_{-\infty }^{+\infty }{y}_2(\tau )e^{-jw\tau }d\tau$
\quad\quad\quad\quad=${\int }_{-\infty }^{+\infty }{y}_1^{\ast }(-\tau )e^{-jw\tau }d\tau \times Y_2(w)$

令$\tau =-{\tau }^{{}^{\prime }}$,${\tau }^{{}^{\prime }}=-\tau$，则

$P_{y_1{y}_2}(w)$=${\int }_{+\infty }^{-\infty }{y}_1^{\ast }({\tau }^{{}^{\prime }})e^{jw{\tau }^{{}^{\prime }}}d(-{\tau }^{{}^{\prime }})\times Y_2(w)$
\quad\quad\quad\quad=${\int }_{-\infty }^{+\infty }{y}_1^{\ast }({\tau }^{{}^{\prime }})e^{jw{\tau }^{{}^{\prime }}}d{\tau }^{{}^{\prime }}\times Y_2(w)$
\quad\quad\quad\quad=${\int }_{-\infty }^{+\infty }{y}_1^{\ast }({\tau }^{{}^{\prime }})e^{jw{\tau }^{{}^{\prime }}}d{\tau }^{{}^{\prime }}\times Y_2(w)$
\quad\quad\quad\quad=$({\int }_{-\infty }^{+\infty }{y}_1({\tau }^{{}^{\prime }})e^{-jw{\tau }^{{}^{\prime }}}d{\tau }^{{}^{\prime }}{)}^{\ast }\times Y_2(w)$

\quad\quad\quad\quad=$Y_1^{\ast }(w)Y_2(w)$

由2.3知：

$R_{y_1{y}_2}(\tau )$ = $\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{P}_{y_1{y}_2}(w)e^{jw\tau }dw$
\quad\quad\quad\quad=$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{Y}_1^{\ast }(w)Y_2(w)e^{jw\tau }dw$
\quad\quad\quad\quad=$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{Y}_1^{\ast }(w)Y_2(w)e^{jw\tau }dw$

由此我们完成了连续信号的互相关函数的推导过程。

令$w=-w^{{}^{\prime }}$,$w^{{}^{\prime }}=-w$，则

$R_{y_1{y}_2}(\tau )$ =$\frac{1}{2\pi }{\int }_{+\infty }^{-\infty }{Y}_1^{\ast }(-w^{{}^{\prime }})Y_2(-w^{{}^{\prime }})e^{-j{w}^{{}^{\prime }}\tau }d(-w^{{}^{\prime }})$
\quad\quad\quad\quad=$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{Y}_1^{\ast }(-w^{{}^{\prime }})Y_2(-w^{{}^{\prime }})e^{-j{w}^{{}^{\prime }}\tau }d(w^{{}^{\prime }})$

若$y_1(t)$和$y_2(t)$是实信号，则由实信号的共轭对称性得：

$Y_1^{\ast }(-w^{{}^{\prime }})$=$Y_1(w^{{}^{\prime }})$

$Y_2(-w^{{}^{\prime }})$=$Y_2^{\ast }(w^{{}^{\prime }})$

所以当$y_1(t)$和$y_2(t)$是实信号时，

$R_{y_1{y}_2}(\tau )$ =$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{Y}_1^{\ast }(-w^{{}^{\prime }})Y_2(-w^{{}^{\prime }})e^{-j{w}^{{}^{\prime }}\tau }d{w}^{{}^{\prime }}$
\quad\quad\quad\quad=$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{Y}_1(w^{{}^{\prime }})Y_2^{\ast }(w^{{}^{\prime }})e^{-j{w}^{{}^{\prime }}\tau }d{w}^{{}^{\prime }}$
\quad\quad\quad\quad=$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{Y}_1(w)Y_2^{\ast }(w)e^{-jw\tau }dw$

3.2 若$y_1(n)$和$y_2(n)$为离散信号，且满足信号平方可和

则由2.1节知：

$R_{y_1{y}_2}(\tau )$=$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{y}_1(n)y_2(n+\tau )$

但现在我们要用两个信号的傅里叶变化来表示它们的互相关函数，那么可以如何表示呢？
我们首先给出表达形式如下，然后进行推导。

$R_{y_1{y}_2}(\tau )$ = $\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{Y}_1^{\ast }(w)Y_2(w)e^{jw\tau }dw$

因为：

$R_{y_1{y}_2}(\tau )$=$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{y}_1(n)y_2(n+\tau )$

令$n=-n^{{}^{\prime }}$,$n^{{}^{\prime }}=-n$,则:

$R_{y_1{y}_2}(\tau )$=$\sum _{n^{{}^{\prime }}=-\infty }^{+\infty }{y}_1(-n^{{}^{\prime }})y_2(-n^{{}^{\prime }}+\tau )$

\quad\quad\quad\quad=$y_1^{\ast }(-\tau )\ast y_2(\tau )$

由2.3节知：

$P_{y_1{y}_2}(w)$=$\sum _{\tau =-\infty }^{+\infty }{R}_{y_1{y}_2}(\tau )e^{-jw\tau }$

\quad\quad\quad\quad=$\sum _{\tau =-\infty }^{+\infty }{y}_1^{\ast }(-\tau )e^{-jw\tau }\times \sum _{\tau =-\infty }^{+\infty }{y}_2(\tau )e^{-jw\tau }$

\quad\quad\quad\quad=$Y_1^{\ast }(w)Y_2(w)$

由2.3节知：

$R_{y_1{y}_2}(\tau )$ = $\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{P}_{y_1{y}_2}(w)e^{jw\tau }dw$

\quad\quad\quad\quad=$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{Y}_1^{\ast }(w)Y_2(w)e^{jw\tau }dw$

若$y_1(n)$和$y_2(n)$为实信号，同理可得：

$R_{y_1{y}_2}(\tau )$ = $\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{Y}_1^{\ast }(w)Y_2(w)e^{jw\tau }dw$

\quad\quad\quad\quad=$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{Y}_1(w)Y_2^{\ast }(w)e^{-jw\tau }dw$