本文使用 sklearn的逻辑斯谛回归模型，进行二分类预测，并通过调整各种参数，对预测结果进行对比。

1. 预备知识

逻辑斯谛回归模型（ Logistic Regression，LR）

范数（norm） 几种范数的简单介绍

• L0 范数：$||X|{|}_0=\#(i|x_i\ne 0)$ 向量中非零元素个数，由于它没有一个好的数学表示，难以应用。
• L1 范数：$||X|{|}_1=\sum _{i=1}^n|x_i|$ 表示非零元素的绝对值之和
• L2 范数：$||X|{|}_2=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x_i}^2}$ 表示元素的平方和再开方

机器学习——正则化 (L1与L2范数)

• 一般来说，监督学习可以看做最小化下面的目标函数：
  $${\omega }^{\ast }=\underset{\omega }{\mathrm{argmin}}\sum _{i}L(y_i,f(x_i;\omega ))+\lambda \Omega (\omega )$$ $L$ 是损失项（训练误差），$\Omega$ 项是对参数 $\omega$ 的规则化函数，去约束模型，使之尽量简单，$\lambda$ 为系数，在sklearn的参数中 $C=1/\lambda$。
• L1 范数是指向量中各个元素绝对值之和，也叫“稀疏规则算子”（Lasso regularization）
• L1 范数和 L0 范数可以实现稀疏（趋于产生少量特征，其他为0），L1 因具有比 L0 更好的优化求解特性而被广泛应用。
• L2 范数是指向量各元素的平方和然后求平方根
• L2 范数可以防止过拟合，提升模型的泛化能力（选择更多的特征，特征都会接近0）。
  

sklearn中的LogisticRegression模型一文对模型的参数进行了说明

sklearn 中文文档 https://sklearn.apachecn.org/docs/0.21.3/

2. 实践代码

• 生成以y=-x^2+1.5为分类线的数据集
• 为增加模型学习难度，将随机抽取的10%的数据强行赋值为正类
• 尝试通过特征的多项式升维、归一化，然后交给LR模型，训练一个分类曲线。
• 为了学习到合适的分类曲线，我们尝试了不同的参数组合

'''遇到不熟悉的库、模块、类、函数，可以依次：1）百度（google确实靠谱一些），如"matplotlib.pyplot"，会有不错的博客供学习参考2）"终端-->python-->import xx-->help(xx.yy)"，一开始的时候这么做没啥用，但作为资深工程师是必备技能3）试着修改一些参数，观察其输出的变化，在后面的程序中，会不断的演示这种办法
'''
# written by hitskyer
# modified by Michael Ming on 2020.2.12
import sys
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# sklearn 中文文档 https://sklearn.apachecn.org/docs/0.21.3/
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn import metricsdef get_parabolic_curve_data_set(n):# 设置随机数的种子，以保证每回运行程序的随机结果一致np.random.seed(520)  # 520 可以随便写 Seed must be between 0 and 2**32 - 1# 随机生成200个样本，每个样本两维特征# X = np.random.normal(0, 1, size=(n, 2))  # 正态分布，中心0，标准差1# 更改X的分布（正态，均匀），看看结果有什么变化X = np.random.uniform(-4, 4, size=(n, 2))  # 均匀分布，区间[-4,4)# 分类面（线）是y=-x^2+1.5，开口向下的抛物线，口内为1类，口外为0类y = np.array(X[:, 0] ** 2 + X[:, 1] < 1.5, dtype=int)  # 满足关系的为1，否则为0# 加入10%的噪声数据for _ in range(n // 10):  # //为整除y[np.random.randint(n)] = 1return X, ydef show_data_set(X, y):plt.scatter(X[y == 0, 0], X[y == 0, 1], c='r')# 散点图，分量1,为y==0的行的0列，分量2，y==0的行的1列，c表示颜色plt.scatter(X[y == 1, 0], X[y == 1, 1], c='b')plt.show()def PolynomialLogisticRegression(degree=2, C=1.0, penalty='l2'):# 对输入特征依次做 多项式转换、归一化转换、类别预测，可以尝试注释掉前2个操作，看看结果有什么不同return Pipeline([# Pipeline 可以把多个评估器链接成一个。例如特征选择、标准化和分类# 以多项式的方式对原始特征做转换，degree次多项式('poly', PolynomialFeatures(degree=degree)),# 对多项式转换后的特征向量做归一化处理，例如（数据-均值）/标准差('std_scaler', StandardScaler()),# 用转换后的特征向量做预测，penalty是正则化约束，C正则化强度，值越小，强度大# solver 不同的求解器擅长的规模类型差异# 正则化 https://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995/('log_reg', LogisticRegression(C=C, penalty=penalty, solver="liblinear", max_iter=10000))])def plot_decision_boundary(x_min, x_max, y_min, y_max, pred_func):h = 0.01# 产生网格xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h), np.arange(y_min, y_max, h))# ravel将矩阵展平，np_c[a,b]将a,b按列拼在一起Z = pred_func(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])Z = Z.reshape(xx.shape)plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Spectral)  # 填充等高线# 等高线参考 https://blog.csdn.net/lens___/article/details/83960810def test(X_train, X_test, y_train, y_test, degree=2, C=1.0, penalty='l2'):poly_log_reg = PolynomialLogisticRegression(degree=degree, C=C, penalty=penalty)# 训练模型poly_log_reg.fit(X_train, y_train)# 在训练数据上做测试predict_train = poly_log_reg.predict(X_train)sys.stdout.write("LR(degree = %d, C=%.2f, penalty=%s) Train Accuracy : %.4g\n" % (degree, C, penalty, metrics.accuracy_score(y_train, predict_train)))# 在测试数据上做测试predict_test = poly_log_reg.predict(X_test)score = metrics.accuracy_score(y_test, predict_test)sys.stdout.write("LR(degree = %d, C=%.2f, penalty=%s) Test Accuracy : %.4g\n" % (degree, C, penalty, score))print("--------------------------------------")# 展示分类边界plot_decision_boundary(-4, 4, -4, 4, lambda x: poly_log_reg.predict(x))plt.scatter(X_train[y_train == 0, 0], X_train[y_train == 0, 1], color='r')plt.scatter(X_train[y_train == 1, 0], X_train[y_train == 1, 1], color='b')plt.xlabel("x1")plt.ylabel("x2")plt.rcParams['font.sans-serif'] = 'SimHei'  # 消除中文乱码plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 用来正常显示负号plt.title("参数：degree:%d, C:%.2f, penalty:%s -- 准确率: %.4f" % (degree, C, penalty, score))plt.show()if __name__ == '__main__':# 随机生成200个拥有2维实数特征 且 分类面（线）为y=-x^2+1.5(换言之，x2=-x1^2+1.5)的语料X, y = get_parabolic_curve_data_set(200)  # 可以加大数据量查看对结果的影响# 预留30%作为测试语料X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=0)# 展示所生成的数据show_data_set(X, y)# 测试不同的超参数组合print("准确率高，比较恰当的模型")test(X_train, X_test, y_train, y_test, degree=2, C=1.0, penalty='l2')print("准确率高，且恰当的模型")test(X_train, X_test, y_train, y_test, degree=2, C=0.1, penalty='l2')print("准确率高，但是过拟合的模型")test(X_train, X_test, y_train, y_test, degree=20, C=1.0, penalty='l2')print("准确率低，且过拟合的模型")test(X_train, X_test, y_train, y_test, degree=20, C=0.1, penalty='l2')print("准确率高，且恰当的模型")test(X_train, X_test, y_train, y_test, degree=20, C=0.1, penalty='l1')

3. 结果对比

3.1 正态分布

当样本为正态分布时：X = np.random.normal(0, 1, size=(n, 2)) # 正态分布，中心0，标准差1

参数组合	数据（正态分布）	deg = 2, C=1.00, l2	deg = 2, C=0.10, l2	deg = 20, C=1.00, l2	deg = 20, C=0.10, l2	deg = 20, C=0.10, l1
200组数据、seed(520)
准确率		0.9500	0.9500	0.9167	0.9333	0.9333
200组数据、seed(777)
准确率		0.9333	0.9333	0.9333	0.8833	0.9167
2000组数据 seed(520)
准确率		0.9333	0.9217	0.9317	0.9233	0.9317
2000组数据 seed(777)
准确率		0.9117	0.8983	0.9233	0.9067	0.9150

对比可以发现：

• 对比 1,2 列，数据越密集的区域，越容易学到准确的分类边界，且容易克服噪声的影响；
• 随机种子seed不一样，产生的样本集合不同，在假设的分类模型比较接近真实分类界线（y=-x^2+1.5），随着数据增加，学习到的模型越靠谱；在假设的分类模型比真实分类界限复杂时，在数据密集区域，随着数据增多，配合上正则化，依然可以学习到更准确的模型。在数据稀释区域，模型的复杂度很高，且受噪声数据影响比较大。
• degree的增加，可以产生高阶的曲线分界
• 对比 3,4 列，C越大，正则化项作用越小，曲线会越复杂，过拟合会越严重
• 对比 4,5 列，可见，l1 正则化下的预测分界曲线可能阶数更低（非0参数更少）
• 分类线实质上是抛物线（2阶），我们用20阶去学习，首先2000组数据不一定充分，其次，由于正态分布数据集中在中心，边缘区域数据覆盖很少，所以周围区域的分类线有时候会奇形怪状，但中心区域的分类还是比较准确的

3.2 均匀分布

当样本为均匀分布时：X = np.random.uniform(-4, 4, size=(n, 2)) # 均匀分布，区间[-4,4)

参数组合	数据（均匀分布）	deg = 2, C=1.00, l2	deg = 2, C=0.10, l2	deg = 20, C=1.00, l2	deg = 20, C=0.10, l2	deg = 20, C=0.10, l1
200组数据、seed(520)
准确率		0.8500	0.8333	0.8333	0.8000	0.8333
200组数据、seed(777)
准确率		0.7833	0.7333	0.7667	0.7000	0.6667
2000组数据 seed(520)
准确率		0.8767	0.8750	0.9050	0.8900	0.8767
2000组数据 seed(777)
准确率		0.8883	0.8883	0.9050	0.9017	0.8950

• 由上面2大组实验（X的分布形式改变），可看出均匀分布下，2000组数据下，各组参数下分类结果均比较好
• 当数据量比较小时，结果易受到seed随机出来的样本影响（第1，2行），同时，分类效果也不好

3.3 修改Pipeline

sklearn 的 Pipeline简介：

• 管道机制实现了对机器学习全部步骤的流式化封装和管理
• 前几步是转换器（Transformer）（如多项式转换、归一化等等），最后一步必须是估计器（Estimator）或叫分类器，输入数据经过转换器处理，输出的结果作为下一步的输入
• pipeline.fit生成预测模型
• pipeline.predict对数据进行预测

上面实践代码里Pipeline定义了模型将要做的事情：

• a. 对数据进行 多项式转换PolynomialFeatures（维度变化）
• b. 归一化处理StandardScaler（让异常数据不要对正常数据造成很大影响）
• c. 逻辑斯谛回归LogisticRegression（预测）

def PolynomialLogisticRegression(degree=2, C=1.0, penalty='l2'):# 对输入特征依次做多项式转换、归一化转换、类别预测return Pipeline([# Pipeline 可以把多个评估器链接成一个。例如特征选择、标准化和分类# 以多项式的方式对原始特征做转换，degree次多项式('poly', PolynomialFeatures(degree=degree)),# 对多项式转换后的特征向量做归一化处理，例如（数据-均值）/标准差('std_scaler', StandardScaler()),# 用转换后的特征向量做预测，penalty是正则化约束，C正则化强度，值越小，强度大# solver 不同的求解器擅长的规模类型差异# 正则化 https://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995/('log_reg', LogisticRegression(C=C, penalty=penalty, solver="liblinear"))])

在均匀分布的情况下，删除a、删除b、删除a,b，查看对预测的影响

3.3.1 删除多项式转换

参数组合, no ploy	数据（均匀分布）	deg = 2, C=1.00, l2	deg = 2, C=0.10, l2	deg = 20, C=1.00, l2	deg = 20, C=0.10, l2	deg = 20, C=0.10, l1
200组数据、seed(520)
准确率		0.7333	0.7333	0.7333	0.7333	0.7333
200组数据、seed(777)
准确率		0.6333	0.6167	0.6333	0.6167	0.5667
2000组数据 seed(520)
准确率		0.6933	0.6933	0.6933	0.6933	0.6917
2000组数据 seed(777)
准确率		0.6867	0.6867	0.6867	0.6867	0.6867

• 可以看出在删除ploy多项式转换项后，模型维度没有增加，保持线性
• 预测分类线为一条直线
• 预测准确率也下降很多，不管怎么调参数，效果甚微

3.3.2 删除归一化项

参数组合, no std_scaler	数据（均匀分布）	deg = 2, C=1.00, l2	deg = 2, C=0.10, l2	deg = 20, C=1.00, l2	deg = 20, C=0.10, l2	deg = 20, C=0.10, l1
200组数据、seed(520)
准确率		0.8667	0.8667	0.8500	0.8500	0.8500(Warning)
200组数据、seed(777)
准确率		0.8000	0.8000	0.7500	0.7500	0.7176(Warning)
2000组数据 seed(520)						没跑出来
准确率		0.8767	0.8783	0.7767	0.7767	-
2000组数据 seed(777)						没跑出来
准确率		0.8883	0.8917	0.8100	0.8133	-

• 可以看出在2阶情况下，没有归一化，影响不是很大
• 高阶下，没有归一化，对结果影响很大（因为噪声数据下，高阶波动相当大，相当于系统不稳定，conditiona number很大）

//报的Warning
ConvergenceWarning: Liblinear failed to converge, increase the number of iterations."the number of iterations.", ConvergenceWarning)

3.3.3 删除多项式转换&归一化

参数组合, no ploy & no scaler	数据（均匀分布）	deg = 2, C=1.00, l2	deg = 2, C=0.10, l2	deg = 20, C=1.00, l2	deg = 20, C=0.10, l2	deg = 20, C=0.10, l1
200组数据、seed(520)
准确率		0.7333	0.7667	0.7333	0.7667	0.7500
200组数据、seed(777)
准确率		0.6167	0.6667	0.6167	0.6667	0.6333
2000组数据 seed(520)
准确率		0.6933	0.6933	0.6933	0.6933	0.6917
2000组数据 seed(777)
准确率		0.6850	0.6900	0.6850	0.6900	0.6883

• 没有多项式与归一化后，分类线表现为一条直线（没有多项式转换）
• 分类效果也都很差，调参效果很差

---

3.4 总结

• 训练数据分布对预测结果有直接影响，数据密集的地方预测较准，数据稀疏的地方，预测不准确（噪声，模型本身都有影响）
• 特征转换，有助于预测出更高阶的模型
• 归一化能够降低噪声的影响
• 加大数据规模一定程度上能够抗噪，提高模型准确率，重复区域高密度的数据一定程度以后，对模型预测也就失去了价值

4. 附

4.1 matplotlib.pyplot.contourf

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 计算x,y坐标对应的高度值
def f(x, y):return x**2+y<1.5# 生成x,y的数据
n = 256
x = np.linspace(-4, 4, n)
y = np.linspace(-4, 4, n)
# 把x,y数据生成mesh网格状的数据，在网格的基础上添加上高度值
X, Y = np.meshgrid(x, y)
# 填充等高线
plt.contourf(X, Y, f(X, Y))
# 显示图表
plt.show()

画出 x**2+y = 1.5 的等高线如下

4.2 numpy 之 np.r_[a,b], np.c_[a,b]

np.r_
np.c_
用法参考下面：>>> a
array([[1, 2, 3],[7, 8, 9]])
>>> b
array([[4, 5, 6],[1, 2, 3]])
>>> c=np.c_[a,b]
>>> c
array([[1, 2, 3, 4, 5, 6],[7, 8, 9, 1, 2, 3]])
>>> c=np.r_[a,b]
>>> c
array([[1, 2, 3],[7, 8, 9],[4, 5, 6],[1, 2, 3]])
>>> c=np.c_[a.ravel(),b.ravel()] # ravel()展平
>>> c
array([[1, 4],[2, 5],[3, 6],[7, 1],[8, 2],[9, 3]])