一、二叉搜索树（BST）

二叉搜索树（二叉排序树）定义如下：

（1）一棵空树；

（2）或者不是空树：

         1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

         2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

         3）左、右子树也分别为二叉排序树。

 

二、二叉搜索的操作

/*************************************************************************
这是一个二叉查找树，实现了以下操作：插入结点、构造二叉树、删除结点、查找、
查找最大值、查找最小值、查找指定结点的前驱和后继。上述所有操作时间复杂度
均为o(h),其中h是树的高度
注释很详细，具体内容就看代码吧
*************************************************************************/#include<stdio.h>  
#include<stdlib.h>  //二叉查找树结点描述  
typedef int KeyType;
typedef struct Node
{KeyType key;          //关键字  struct Node * left;   //左孩子指针  struct Node * right;  //右孩子指针  struct Node * parent; //指向父节点指针  
}Node, *PNode;//往二叉查找树中插入结点  
//插入的话，可能要改变根结点的地址，所以传的是二级指针  
void inseart(PNode * root, KeyType key)
{//初始化插入结点  PNode p = (PNode)malloc(sizeof(Node));p->key = key;p->left = p->right = p->parent = NULL;//空树时，直接作为根结点  if ((*root) == NULL) {*root = p;return;}//插入到当前结点（*root）的左孩子  if ((*root)->left == NULL && (*root)->key > key) {p->parent = (*root);(*root)->left = p;return;}//插入到当前结点（*root）的右孩子  if ((*root)->right == NULL && (*root)->key < key) {p->parent = (*root);(*root)->right = p;return;}if ((*root)->key > key)inseart(&(*root)->left, key);else if ((*root)->key < key)inseart(&(*root)->right, key);elsereturn;
}//查找元素,找到返回关键字的结点指针，没找到返回NULL  
PNode search(PNode root, KeyType key)
{if (root == NULL)return NULL;if (key > root->key) //查找右子树  return search(root->right, key);else if (key < root->key) //查找左子树  return search(root->left, key);elsereturn root;
}//查找最小关键字,空树时返回NULL  
PNode searchMin(PNode root)
{if (root == NULL)return NULL;if (root->left == NULL)return root;else  //一直往左孩子找，直到没有左孩子的结点  return searchMin(root->left);
}//查找最大关键字,空树时返回NULL  
PNode searchMax(PNode root)
{if (root == NULL)return NULL;if (root->right == NULL)return root;else  //一直往右孩子找，直到没有右孩子的结点  return searchMax(root->right);
}//查找某个结点的前驱  
PNode searchPredecessor(PNode p)
{//空树  if (p == NULL)return p;//有左子树、左子树中最大的那个  if (p->left)return searchMax(p->left);//无左子树,查找某个结点的右子树遍历完了  else {if (p->parent == NULL)return NULL;//向上寻找前驱  while (p) {if (p->parent->right == p)break;p = p->parent;}return p->parent;}
}//查找某个结点的后继  
PNode searchSuccessor(PNode p)
{//空树  if (p == NULL)return p;//有右子树、右子树中最小的那个  if (p->right)return searchMin(p->right);//无右子树,查找某个结点的左子树遍历完了  else {if (p->parent == NULL)return NULL;//向上寻找后继  while (p) {if (p->parent->left == p)break;p = p->parent;}return p->parent;}
}//根据关键字删除某个结点,删除成功返回1,否则返回0  
//如果把根结点删掉，那么要改变根结点的地址，所以传二级指针  
int deleteNode(PNode* root, KeyType key)
{PNode q;//查找到要删除的结点  PNode p = search(*root, key);KeyType temp;    //暂存后继结点的值  //没查到此关键字  if (!p)return 0;//1.被删结点是叶子结点，直接删除  if (p->left == NULL && p->right == NULL) {//只有一个元素，删完之后变成一颗空树  if (p->parent == NULL) {free(p);(*root) = NULL;}else {//删除的结点是父节点的左孩子  if (p->parent->left == p)p->parent->left = NULL;else  //删除的结点是父节点的右孩子  p->parent->right = NULL;free(p);}}//2.被删结点只有左子树  else if (p->left && !(p->right)) {p->left->parent = p->parent;//如果删除是父结点，要改变父节点指针  if (p->parent == NULL)*root = p->left;//删除的结点是父节点的左孩子  else if (p->parent->left == p)p->parent->left = p->left;else //删除的结点是父节点的右孩子  p->parent->right = p->left;free(p);}//3.被删结点只有右孩子  else if (p->right && !(p->left)) {p->right->parent = p->parent;//如果删除是父结点，要改变父节点指针  if (p->parent == NULL)*root = p->right;//删除的结点是父节点的左孩子  else if (p->parent->left == p)p->parent->left = p->right;else //删除的结点是父节点的右孩子  p->parent->right = p->right;free(p);}//4.被删除的结点既有左孩子，又有右孩子  //该结点的后继结点肯定无左子树(参考上面查找后继结点函数)  //删掉后继结点,后继结点的值代替该结点  else {//找到要删除结点的后继  q = searchSuccessor(p);temp = q->key;//删除后继结点  deleteNode(root, q->key);p->key = temp;}return 1;
}//创建一棵二叉查找树  
void create(PNode* root, KeyType *keyArray, int length)
{int i;//逐个结点插入二叉树中  for (i = 0; i<length; i++)inseart(root, keyArray[i]);
}int main(void)
{int i;PNode root = NULL;KeyType nodeArray[11] = { 15,6,18,3,7,17,20,2,4,13,9 };create(&root, nodeArray, 11);for (i = 0; i<2; i++)deleteNode(&root, nodeArray[i]);printf("%d\n", searchPredecessor(root)->key);printf("%d\n", searchSuccessor(root)->key);printf("%d\n", searchMin(root)->key);printf("%d\n", searchMax(root)->key);printf("%d\n", search(root, 13)->key);return 0;
}