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问题描述

有 1~N 个数字，从 1~m 依次报数，数到 m 的数字要被删掉，求最后剩下的数字是？

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思路

第一次报数	第二次报数
1	n-m+1
2	n-m+2
…	…
m-2	n-2
m-1	n-1
m	被删掉了
m+1	1
m+2	2
…	…
n-1	n-1-m
n	n-m

通过上面的表格，我们可以发现这样的规律：

将某数字第一次报数设为 first ，第二次报数设为 second 。那么存在这样的关系：$first=(second+m-1)\%n+1$（公式一）

为什么不是 $first=(second+m)\%n$ （公式二）呢？其实一开始我确实总结出来的是公式二，但是发现有个漏洞，数字编号是从 1 开始的，而公式二的编号是从 0 开始的，具体来说，就是当 second = n-m 时，first = 0 。可以看到并不符合实际，first=n 才对。换言之，也就是如果我们从 0 开始计数，那么公式二是可用的，如何从 0 开始计数呢？ 答案就是把数字序列存到数组里嘛~

因此，将公式二可以进化为 $first=(second+m)\%n+1$（公式三），但是简单的为公式二的结果 +1 ，就导致在公式二中，本来只有 second = n-m 结果不符合实际，而在公式三中，变成了只有 second = n-m 的结果符合实际，原本没问题的都变得有问题了……这是因为我们没有做到加减均衡，只有 +1，而没有 -1 。因此公式一应运而生~

那么我们可以得到这样的规律：

$当n>1时，f(n)=(f(n-1)+m-1)\%n+1$
$当n=1时，f(1)=1$

解释一下就是，剩最后一个数的时候直接返回最后一次报数为 1 的数，反之则需要继续删除一个数。

而当 n-1=1 时，f(n) 也就意味着，最后一次报数为 1 的数，倒数第二次报数的时候它报的是几。

那么对于 f(n-1) 的调用也就意味着，本次报数为 n 的数，下一次报数为几。

说到这里已经很清楚了，显而易见的递归思想。

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代码实现

int m;
int yuesefu(int n){if(n == 1) return 1; // 最后一次报数为 1，开始回溯return (yuesefu(n-1) + m - 1) % n + 1; // f(n-1)==1的时候开始回溯，求最后一次报数为 1 的数，第一次报数为几？
}// 还可以再简化
int m;
int yuesefu(int n){return n == 1 ? 1 : (yuesefu(n-1) + m - 1) % n + 1;
}// 如果将数字序列存入数组中，则可用公式二
int m;
int yuesefu(int n){return n == 0 ? 0 : (yuesefu(n-1) + m) % n;
}