1 引言

当前，绝大多数非高斯噪声的建模形式都为Alpha稳定分布噪声。首先，Alpha稳定分布符合中心极限定理，在理论上适合应用于实际场景中的噪声建模；其次，Alpha稳定分布由于其参数的可变性，包含高斯分布、柯西分布和拉普拉斯分布等，研究Alpha噪声下的调制识别方法比高斯分布噪声更具有普适性。但是，Alpha稳定分布噪声不具有二阶及二阶以上特性，大部分的时频特征和统计特征失效。

课题的第四章节主要利用统计特征实现非高斯场景下的调制识别方法。在非高斯场景中，主要的抑制噪声手段如图1所示。

本次分享中，主要介绍特征分数低阶化的方法，用到的特征是常用的循环谱方法，通过构造分数低阶循环谱特征，获得含有Alpha稳定分布噪声信号的特征向量，最终使用训练好的分类器模型得到最终的信号分类结果。

2 研究目的：

论文的第四章节中，主要想利用基于分数低阶统计特征的调制识别方法，因此首先尝试了使用分数低阶循环谱特征，该方法有效地实现了Alpha噪声下的调制识别，并得到较优的识别精度。一方面，使用传统的方法实现非高斯场景下的调制识别方法具有工程可实现性；另一方面，为第五章节基于深度学习的调制识别方法提供了对比。

3 循环谱的理论基础

通常在对平稳随机过程的各阶统计量进行描述时，因为平稳的随机过程具有时间遍历性，所以各阶统计量都可以采用时间平均这一概念来描述。但由于非平稳信号的均值和自相关函数都是随时间而变化的函数，所以不能直接用时间平均来计算信号的统计量特征。

假设一个确定的复正弦信号

，n(t)是均值为零的随机噪声，即

用统计平均的方法求出以上过程的均值，有

被称为时间函数，根据时间函数可以得到信号的均值，一般采取的方法为同步平均。设

为以上随机过程中的周期值，选取信号x(t)的采样点，采样点个数为2N+1，假设有限时间是t，通过同步平均的方法，可以得到估计的信号统计均值，具体公式如下。

其中信号的持续时间为

信号的持续时间越长，外界噪声对信号的干扰越小，有

具有周期性，周期为

。若将统计均值以傅里叶级数的形式展开，则有

其中，傅里叶系数的具体形式由下式给出，即

由上述式子的推导可得：

如果x(t)中包括很多不同的周期信号，则根据上述的公式可以进一步得到下式：

在上式中，

代表了信号的谐波频率，在信号x(t)进行

大小的频移后，得到的循环均值为

。此时的

代表了一阶循环频率，通过

可以得知循环均值

的值是否是零。信号为一阶循环平稳的条件是信号的循环均值和一阶循环频率都不是零。

假如信号的循环均值和一阶循环频率其中有一个为零，那么为了对信号继续分析，就需要利用信号的二阶统计量这一参量，二阶统计量代表了信号的自相关函数，自相关函数的定义如下：

其中T代表了自相关函数的循环周期。

假设信号x(t)的均值为零，信号的自相关函数以傅里叶级数的形式来表示，则有：

其中

为傅里叶系数，

如果x(t)是经历了各态的过程，则有下式：

同样傅里叶系数为：

由上式可得，当

时，

代表了自相关函数。当

时，

代表了循环自相关函数，具有循环平稳的性质，且

不全部是零。此时的

代表了二阶循环频率，被称为循环频率，同样具有循环平稳的性质。

循环谱也就是循环平稳信号的谱自相关函数，用

表示：

在循环频率为零时，信号的循环谱代表了功率谱；在循环频率不为零时，信号的傅里叶变换代表了循环谱。

运用信号的互谱理论，可以得到如下关系：

结合以上关系可得：

u(t)和v(t)互相关的结果可以得到循环自相关函数，两者之间的关系是

。

由互谱理论分析可得

则

由以上结论可得，信号的循环平稳性质可以通过瞬时谱相关看出，公式如下：

由上式可以看出，根据信号循环谱

的公式，

代表了信号的短时傅里叶变换，也就是信号在一个时间段里的频谱，对信号进行短时傅里叶变换后，信号的谱相关函数可以根据互谱理论和公式得到，此时的谱相关函数也就是信号的循环谱。

采用信号循环谱的优点是，信号的循环谱密度函数能够表示一些信号的特性和特征，例如循环谱包含了信号的频率和循环频率，从这些信息能够对信号进行更准确有效地分析，对信号处理系统的准确性有很大提升。当外界信道环境包括噪声时，则输入信号满足：

x(t)=s(t)+n(t)

其中x(t)代表了信号，n(t)代表了外界环境中的噪声。假如n(t)为符合高斯分布的高斯白噪声，那么x(t)的自相关函数就不是周期函数，x(t)具有平稳的性质，x(t)的循环谱密度函数如下：

上式表达的意义是符合平稳分布的噪声的循环谱密度函数为零，因此通过信号的循环谱可以抑制稳定分布噪声的幅值，进而得到属于信号的循环谱特征。

4 分数低阶化方法

一般来说，分数低阶循环统计量包括分数低阶循环自相关函数和分数低阶循环谱密度函数两个概念，是分数低阶统计量中的一个重要的组成部分。

假设随机信号x(t)的自相关函数的周期大小为

，那么x(t)就属于循环平稳信号，如下式所示为分数低阶循环自相关函数表达式，式中

。

假如采用复数形式，那么信号的分数低阶循环谱可能会有一些信息被遗漏。因此本课题将研究重点集中在变换后信号的实部，即

。若

范围内，当b=1时，分数低阶循环谱也就变成了二阶循环谱。

代表循环频率，f代表频率，将

进行傅里叶变换，得到

，

就是信号的分数低阶循环谱。分数低阶循环谱

如下式所示：

其中，f表示信号的频率。

对于复解析信号

，

，分数低阶循环谱通过计算使得循环谱图上噪声的幅值为零，但是信号的幅值不为零，通过这种方法可以得到信号的循环谱特征。由于非高斯噪声的二阶统计量不存在，因此只能利用分数低阶统计量来对非高斯噪声进行处理。分数低阶循环统计量与二阶循环统计量具有相同的循环频率。

5 仿真结果

图2 2ASK、BPSK和2FSK的分数低阶循环谱三维图

如图2所示为2ASK、BPSK和2FSK的分数低阶循环谱三维图，经过对调制信号分数低阶循环谱三维仿真图的分析，为了减少识别算法的计算量，将调制信号的分数低阶循环谱在f=0的截面上作投影，将三维立体图转换为二维平面图。由仿真实验结果可知，分数低阶循环谱在截面上投影的包络就能够完整反映出不同调制信号的不同特性，因此对谱图进行进一步处理，最终提取调制信号分数低阶循环谱在f=0截面上投影的最大值作为调制信号的循环谱特征。

图3 不同信号分数低阶循环谱截面投影

如图3所示为不同调制信号的分数低阶循环谱在f=0截面上投影最大值的仿真实验结果。

确定不同调制信号的分数低阶循环谱特征之后，需要对适用于本文所选五种调制信号的分类方法进行选择。本文根据选定的分数低阶循环谱特征，选取KNN分类器（k近邻分类算法）作为分类方法。利用KNN分类器进行分类识别一般需要经过两个阶段。第一个阶段是训练阶段，在对输入信号进行判定之前，首先需要对KNN分类器进行训练，输入不同类别的带有相应标签的样本数据，使得分类器中已存储好可供判定使用的样本数据集。分类器训练的结果一般是不同类别的样本数据分布在不同的区域，而相同类别的样本数据之间的距离很小。所以可以根据输入的待标记样本数据附近一定范围内，样本个数最多的样本类别来判断输入的样本数据所属的类别。在训练阶段，本文选取调制信号分数低阶循环谱截面投影的最大值即调制信号的循环谱特征作为训练的样本数据。训练的数据集为2ASK、BPSK、QPSK、2FSK和4FSK五种调制信号的循环谱特征，设定每种调制信号各有100组循环谱特征的样本数据，对五种调制信号分别进行了100次的蒙特卡洛仿真实验，共得到了500组调制信号循环谱特征的样本数据。同时对每组样本数据标记好对应的信号种类标签，并将调制信号循环谱特征的数据集和标签同时输入到KNN分类器中进行训练。

为了将本文选取的分数低阶循环谱算法和传统算法作对比说明，如图4所示为α稳定分布噪声背景下，高阶累积量算法、二阶循环谱算法和本文选取的分数低阶循环谱算法的识别率曲线对比图。由图可知，高阶累积量算法和二阶循环谱算法在α稳定分布噪声背景下识别率很低，算法将失效，但在同样的混合信噪比范围内，当混合信噪比MSNR>13dB时，分数低阶循环谱算法的识别率在90%以上。

5 进度总结及计划

1. 已经实现了基于分数低阶循环谱的调制识别方法，但该方法在模型测试的时候具有一定的冗余，计划添加信噪比估计步骤；
2. 信噪比估计步骤已经单独实现，还没没有讲信噪比估计和分类识别的过程相结合，完善整个第4章节。