关于GCD欧几里得算法的证明过程：
证明一：
有两个数 a b
设这两个数的gcd(a,b) = g
那么假设其中比较大的数 a
a = k*b +r;
那么当我们对a求对b的最大公约数时
如果没有余数r 那么gcd 就等于b
那么现在有r了 所以gcd 的取值就取决于r了
因为现在我们来看r
r一定是个小于b的值
所以a和b的GCD问题就变成了我们现在求得就是r和b的GCD问题（r==0 那么就说明 GCD = b；r！=0 说明r对GCD有制约 需要考虑r和b的GCD ）
那么问题回到了开始
现在的 a = b ； b = r；
做重复的操作
由于每次的r都会不断缩小
所以最后当我们再做a%b的时候为0 那么就说明我们得到了GCD = b；

那么为什么r一定是GCD的倍数
我们看
$a = k1 * gcd$
$b = k2 * gcd$
那么当较大的$a = k3*b + r$
$r = k3*b+k1 * b$
可知 $r = k3 * k2 * gcd+k1 * gcd$
可知r一定是GCD的倍数

所以我们继续用r和b继续求解GCD
最终可以求得最后的GCD大小

证明二：
还有一种证明我们可以这样来
a = k*b +ｒ；
r = a mod b
设d 为 a和b的一个公约数 那么
d|a d|b 设r是a对b的余数r = a- k*b
那么d|r
所以d也是（b，a%b）的公约数
d|b , d|r, 由于a = k*b+r
所以d也是a和b的公约数 所以这个d有普遍性
(a,b)和(b,a mod b) 的公约数是一样的
其最大公约数相等