上一篇文章学习了函数的渐近的界定义，本篇文章继续学习函数渐近的界定理。这些定理的证明，用到了函数渐近的界的定义。点击查看上一篇文章：【算法设计与分析】04 函数的渐进的界
文章目录
- 1. 定理1
- 1.1 证明定理1
- 1.2 估计函数的阶
- 1.3 一些重要的结论
- 1.31 多项式函数的阶低于指数函数的阶
- 1.32 对数函数的阶低于幂函数的阶
- 2. 定理2
- 2.1 例子
- 3. 定理3
- 4. 总结
1. 定理1
定理： 设 f 和 g是定义域为自然数集合的函数.
1.1 证明定理1
1.2 估计函数的阶
1.3 一些重要的结论
1.31 多项式函数的阶低于指数函数的阶
可证明：多项式函数的阶低于指数函数的阶
证 不妨设d为正整数，
1.32 对数函数的阶低于幂函数的阶
可证明：对数函数的阶低于幂函数的阶
证明：
2. 定理2
定理 设函数f, g, h的定义域为自然数集合，
函数的阶之间的关系具有传递性
2.1 例子
按照阶从高到低排序以下函数：
排序 h(n), f(n), g(n), t(n)
3. 定理3
定理 假设函数f 和g的定义域为自然数集，若对某个其它函数 h, 有
f =O(h) 和 g=O(h)，
那么 f + g = O(h).
该性质可以推广到有限个函数.
算法由有限个步骤组成，若每一步的时间复杂度函数的上届都是h(n),那么该算法的时间复杂度函数可以写成O(h(n)).
4. 总结
- 估计函数的阶的方法
- 计算极限
- 阶具有传递性
- 对数函数的阶低于幂函数的阶，多项式函数的阶低于指数函数的阶
- 算法的时间复杂度是各步骤操作时间之和，在常数步的情况下，取最高阶的函数即可。
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