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应一部分读者朋友的要求，我来写一篇有关

稳定判据的文章。这篇文章我就归在《夯实自动控制原理的基础读这个系列文章就够了！》里面了，之后的文章中就不在涉及

稳定判据了。

闭环系统的稳定性

基本概念

确定稳定极限

稳定判据

一个控制回路的稳定性可以通过其系统传递函数的分母

进行确定。即通过系统的特征的方程

的根的情况，我们可以确定该系统的稳定性。

在继续学习之前，我们先要来了解一下何为开环系统，何又为闭环系统。

开环系统亦称“无反馈系统”。系统的输入影响输出而不受输出影响的系统。因其内部没有形成闭合的反馈环，像是被断开的环，故称开环。一个开环系统的方块图如图片4.1所示：

根据图片4.1所示的关系，我们可以列出以下方程组：

则由式

可得到开环系统的传递函数

为：

现在如果我在图片4.1的输出

处拉一条反馈给输入那么会发生什么呢？

闭环系统亦称“反馈系统”。“开环系统”的对称。系统的输入影响输出同时又受输出的直接或间接影响的系统。该类系统有若干个闭合的回路结构。如果我在图片4.1的输出

处拉一条反馈给输入并进行比较那么该系统就变成了一个闭环系统，其方块图如图片4.2所示：

图片4.2表示的是无扰动的标准控制回路，它是一个闭环系统。其中的

表示的是负反馈。那么由图片4.2所示的关系我们可以列写以下方程组：

这由式

可得闭环系统的传递函数

为：

即：

定义：

其中，

称为

则称为

除了如图片4.2所示的无扰动的标准控制回路以外，还有一种无扰动的一般控制回路，其方块图如图片4.3所示：

由图片4.3所示的关系我们可以列出以下方程组：

由式

可以得出图片4.3的闭环系统的闭环传递函数

为：

即：

定义：

所以，无论是哪种闭环系统，其闭环传递函数

的分母均可以被写为：

则一个闭环系统的特征方程为：

其中，

为开环传递函数，其表达式为（带迟滞）：

将式

代入式

并化简可得：

如果没有迟滞，即

，则：

在这种情况下我们可以使用

稳定判据来判定这个闭环系统的稳定性。

现在，我们考察无扰动的标准控制回路（图片4.2），且设

。现在我们的目标是

假设：闭环控制回路已经在稳定极限中了（即闭环传递函数的极点均在

平面的虚轴上）

途径：

“剪开”反馈。如图片4.4所示：

由假设可知，该闭环系统特征方程的根均在

平面的虚轴上，说明该闭环系统的时域行为

是持续振荡（无衰减的振荡）。剪开反馈之后我们

储存到左侧，使

。这样就使得剪开反馈对在闭环系统中“流动的”振荡没有影响，设持续振荡的频率为

。

持续振荡：

对于象函数

而言，在

时有：

因为持续振荡的“流动”。

根据图片4.4所示的关系，我们可以列写以下方程组：

由式

可推得：

对于

我们有：

经过比较式

和式

可得稳定极限满足以下重要关系：

这说明：当

时，系统开环频率响应

穿过

平面上的

这个点，导致闭环在该点处出现了一个持续振荡，即在

时，闭环的行为为持续振荡。点

称为临界点

稳定判据分为特殊情况和一般情况，我们先从特殊情况的

稳定判据开始说起。

前提：

• 系统的开环传递函数具有以下形式：

其中，

。

• 除了在原点可以有一个或者两个零点以外，其余的零点必须均在
  平面的负半平面。
• 和
  没有公共根。

判据：

当且仅当开环频率响应

的轨迹沿着

增加的方向在点

的左侧时，该闭环系统渐进稳定；当开环频率响应

的轨迹沿着

增加的方向在点

的右侧时，该闭环系统不稳定

图片4.5中，粗线代表闭环系统渐渐稳定，而细线代表系统不稳定。粗线和细线均为开环频率响应在

平面内的轨迹，箭头方向为

的增加方向。从左至右，开环传递函数分别为：

下面我们看看如果在

图中使用

稳定判据。

图片4.6中的圆是单位圆。且左侧的图是一个渐进稳定的闭环系统，而右侧的图是一个不稳定的闭环系统。假设开环频率响应

的轨迹仅与单位圆相交一次，并设交点处的角频率为

,称为

的幅频响应和相频响应画在

图中之后如图片4.7所示：

判据：

如图片4.7所示：

• 渐进稳定时，当
  时，相频响应
  还没有掉到
  ；
• 不稳定时，当
  时，相频响应
  已经掉到
  以下。

相位裕度，增益裕度和穿透频率

• 相位裕度
  和
  增益裕度
  是控制回路稳定性的度量；
• 穿透频率
  是控制速度的度量。
  越大，则控制速度越快。

最后我们来看一看

稳定判据的一般情况。

稳定判据（一般情况）

一般情况的

稳定判据在开环不稳定的时候也可以对闭环的稳定性进行判定。开环不稳定的意思是开环传递函数的极点会出现在

平面的右半平面。

判据：

一个闭环系统是稳定的，当且仅当

从

变到

时，从

到

的连线的连续角度变化

时。其中，

是开环频率响应

在

平面右半平面的极点个数，而

是开环频率响应

在

平面虚轴上的极点个数。否则闭环系统不稳定。

给定一个无扰动的标准控制回路的开环频率响应为：

试使用一般情况的

稳定判据确定闭环系统的稳定性。

由于是一个无扰动的标准控制回路，所以，由式

可得该系统的闭环频率响应为：

显然，根据

稳定判据可以判定该闭环系统是稳定的。下面我们再使用一般情况的

稳定判据来判定这个系统是不是稳定的。

首先，我们先来绘制

的轨迹（后面我会专门写一篇文章来说明如何绘制轨迹）。我们通过确定几个特殊点来绘制

的轨迹。

显然，

只有一个极点

，且这个极点在

平面的右侧，所以

，所以，由式

有：

我们再来看看当

从

变到

时，从

到

的连线的连续角度变化

是否等于

：

显然，从蓝线转到红线，

，即

，所以，该闭环系统稳定。