记录来自《剑指offer》的算法题。

题目如下：

写一个函数，输入n，实现斐波那契数列的第n项。

斐波那契数列的定义如下：

$$f(n) = \begin{cases} 0 & n=0 \\ 1 & n=1 \\ f(n-1) + f(n-2) & n \gt 1 \end{cases}$$
教科书上通常在介绍递归的时候都会使用斐波那契数列作为例子，然后给出下列解法：

long long Fibonacci(unsigned int n){if(n<=0)return 0;if(n == 1)return 1;return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
}

但这个算法在n的增大后会变得很慢，主要原因是重复的计算比较多，改进算法如下所示：

// 改进版本
long long FibonacciOptimz(unsigned int n){int result[2] = { 0, 1 };if (n < 2)return result[n];long long fibNMinusOne = 1;long long fibNMinusTwo = 0;long long fibN = 0;for (unsigned int i = 2; i <= n; i++){fibN = fibNMinusOne + fibNMinusTwo;fibNMinusTwo = fibNMinusOne;fibNMinusOne = fibN;}return fibN;
}
// 测试
int main(void){int n = 10;cout << "use Fibonacci(), n = " << n << ", result = " << Fibonacci(n) << endl;cout << "use FibonacciOptimz(), n = " << n << ", result = " << FibonacciOptimz(n) << endl;cout << "start to test:\n";int test[] = { 0, 1, 2, 3, 5, 10, 40, 50, 100 };for (int i = 0; i < 9; i++){int num = test[i];cout << "use FibonacciOptimz(), num = " << num << ", result = " << FibonacciOptimz(num) << endl;}system("pause");return 0;
}

这种算法的时间复杂度是$O(n)$，它采用循环的方法，每次循环的时候都保存中间值，并用于下次的计算。

对于斐波那契数列的应用，还有如下问题：

一只青蛙一次可以跳上一级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

这个问题也就是需要实现斐波那契数列。考虑最简单的情况，如果只有1级台阶，那显然只有一种跳法；如果有2级台阶，则有两种跳法，一次只跳1级和1次跳两级台阶。现在讨论一般情况，将n级台阶时的跳法看成是n的函数，记为$f(n)$。当$n\gt 2$时，第一次跳的时候有两种选择，一是第一次只跳1级，此时跳法数目等于后面剩下的n-1级台阶的跳法数目，即$f(n-1)$；另一种选择是第一次跳2级，此时跳法数目等于后面剩下的n-2级台阶的跳法数目，即为$f(n-2)$。因此n级台阶的不同跳法的总数$f(n) = f(n-1) + f(n-2)$，也就是斐波那契数列。

当然，如果上述问题的条件变成：青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级$\cdots \cdots$它也可以跳上n级，问跳上n级台阶总共有多少种跳法。通过数学归纳法可以得到$f(n) = 2^{n-1}$。