故事凌 今天

基本知识点

图可说是所有数据结构里面知识点最丰富的一个, 自己笨的知识点如下:

• 阶(oRDER), 度: 出度(out-Degree), 入度(in-Degree)
• 树(Tree), 森林(Forest), 环(Loop)
• 有向图(Directed Graph), 无向图(Undirected Graph), 完全有向图, 完全无向图
• 连通图(Connected Graph), 连通分量(Connnected Component)
• 存储和表达式: 邻接矩阵(Adjacency Matrix), 邻接链表(Adjacency List)

围绕图的算法也是五花八门

• 图的遍历: 深度优先, 广度优先
• 环的检测: 有向图, 无向图
• 拓扑排序
• 最短路径算法: Dijkstra, Bellman-Ford, Floyd Warshall
• 连通性相关算法: Kosaraju, Tarjan, 求解孤岛的数量, 判断是否为树
• 图的着色, 旅行商问题等

以上的知识点知识图轮里的冰山一角, 对于算法面试而言, 完全不需要对每个知识点都一一掌握, 而应该有的放矢的准备

必会的知识点

以下的知识点必须充分掌握并反复练习

• 图的存储和表达式: 邻接矩阵(Adjacency Matrix), 邻接链表(Adjacency List)
• 图的遍历: 深度优先, 广度优先
• 二部图的检测(Bipartite), 数的检测, 环的检测, 有向图, 无向图
• 拓扑排序
• 联合-查找算法(Union-Find)
• 最短路径Dijkstra, BellMan-Ford

其中, 环的检测, 二部图的检测, 树的检测以及拓扑都是基于图的遍历, 尤其是深度优先方式的遍历, 而遍历可以在邻接矩阵或者邻接链表上进行, 所以掌握好图的遍历是重中之重, 因为它是所有其他图论算法的基础

至于对端路径算法, 能区分它们的不同特点, 知道在什么情况下用哪种算法就很好了, 对于有充足时间准备的面试者, 能熟练掌握他们的写法当然是很好的

我们来来看看数据结构中的图到底是什么

1. 图的定义

图是由一些点(vertex)和这些点之间的连线(edge)所组成的, 其中, 点通常称为顶点(vertex), 而点到点之间的连线通常称之为边或者弧(edge), 通常记为G = (V,E)

2. 图的分类

图通常分为有向图和无向图, 而其表示方式分为邻接矩阵和邻接链表, 具体表示如下图.

对于无向图，其所有的边都不区分方向。G=(V,E)。其中，

1. V={1,2,3,4,5}。V表示有”1,2,3,4,5”几个顶点组成的集合。

2. E={(1,2),(1,5),(2,1),(2,5),(2,4),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,2),(4,5),(5,1),(5,2),(5,4)}。E就是表示所有边组成的集合，如(1,2)表示由顶点1到顶点2连接成的边。

对于有向图，其所有的边都是有方向的。G=(V,E)。其中，

1. V={1,2,3,4,5}。V表示有”1,2,3,4,5”几个顶点组成的集合。
2. E={<1,2>,<2,5><5,4>,<4,2><3,5>,<3,6>,<6,6>}。E就是表示所有边组成的集合，如<1,2>表示由顶点1到顶点2连接成的边。注意有向图边和无向图边表示方法的不同，有向图的边是矢量，而无向图只是普通的括号。

针对邻接矩阵和邻接链表两种不同的表示方式，有如下优缺点：

1. 邻接矩阵由于没有相连的边也占据空间，相对于邻接链表，存在空间浪费的问题；

2. 但是在查找的时候，邻接链表会比较耗时，对于邻接矩阵来说，它的查找复杂度就是O(1)。

用邻接表表示图的代码

#define MAX 100typedef struct ENode   //邻接表中表对应的链表的顶点{   int ivex;          //该边所指向的顶点的位置   int weight;       //该边的权值   struct ENode *next_edge;   //指向下一条边的指针}ENode,*PENode;typedef struct VNode   //邻接表中表的顶点{   char data;       //顶点的数据   struct VNode *first_edge;  //指向第一条依附该顶点的边}VNode;typedef struct LGraph  //邻接表{   int vexnum;    //图的顶点数   int edgenum;   //图的边数   VNode vexs[MAX];}LGraph;

3. 度, 权, 连通图等概念

对于无向图来说，它的顶点的度就是指关联于该顶点的边的数目；而对于有向图来说，分为入度和出度，所谓入度就是进入该顶点边的数目，出度就是离开这个顶点边的数目，有向图的度就是入度加出度。

图还被分为有权图和无权图，所谓有权图就是每条边都具有一定的权重，通常就是边上的那个数字；而无权图就是每条边没有权重，也可以理解为权重为。如下图所示即为有权图，(A,B)的权就是13。

如果一个无向图中每个顶点到所有其他顶点都是可达的，则称该图是连通的；如果一个有向图中任意两个顶点互相可达，则该有向图是强连通的。

如图(b)中有3个连通分量：{1,2,5},{3,6},{4}。若一个无向图只有一个连通分量，则该无向图连通。

而图(a)中有3个强连通分量：{1,2,4,5}，{3}，{6}。{1,2,4,5}中所有顶点对互相可达。而顶点2与6不能相互可达，所以不能构成一个强连通分量。

4. 深度优先搜索(Depth First Search DFS)

图的深度优先算法有点类似于树的前序遍历，首先图中的顶点均未被访问，确定某一顶点，从该顶点出发，依次访问未被访问的邻接点，直到某个邻接点没有未被访问邻接点时，则回溯父节点(此处我们将先被访问的节点当做后被访问节点的父节点，例如对于节点A、B，访问顺序是A ->B，则称A为B的父节点)，找到父节点未被访问的子节点；如此类推，直到所有的顶点都被访问到。

注意，深度优先的存储方式一般是以栈的方式存储。

1. 无向图的深度优先搜索

2. 有向图的深度优先搜索

3. 深度优先搜索代码

static void DFS(LGraph G, int i,int *visited){   Enode *node;E   printf(“%c”,G.vexs[i].data);   node = G.vexs[i].first_edge;   while(node != NULL)  {       if(!visited[node->ivex])           DFS(G, node->ivex, visited);  //递归调用DFS       node = node->next_edge;  }}

5. 广度优先搜索

从图中的某个顶点出发，访问它所有的未被访问邻接点，然后分别从这些邻接点出发访问它的邻接点。说白了就是一层一层的访问，“浅尝辄止”！

注意，广度优先搜索的存储方式一般是以队列的方式存储。

1. 无向图的广度优先搜索

2. 有向图的广度优先搜索

3. 广度优先所有代码

void BFS(LGraph G){   int head = 0;   int rear = 0;   int queue[MAX];   //辅助队列   int visited[MAX];   //顶点访问标记   eNode *node;   for(int i = 0; i ivex;               if(!visited[k])              {                   visited[k] = 1;                   printf(“%c”,G.vesx[k].data);                   queue[rear++] = k;              }               node = node->next_edge;          }      }  }   printf(“”);}

6.拓扑排序

拓扑排序(Topological Order)是指讲一个有向无环图(Directed Acyclic Graph,DAG)进行排序而得到一个有序的线性序列。

举个例子，例如我们早上起床的穿衣顺序，如下图所示。穿衣的顺序也是有个优先级的，有些衣服就必须优先穿上，例如领带依赖于衬衣，所以领带最终排在衬衣之后；对图a中的元素进行合理的排序，就得到了图b的次序图。注意，该次序图不是唯一的。

int topological_sort(LGraph G){   int num = G.vexnum;   ENode *node;   int head = 0;     //辅助队列的头   int rear = 0;     // 辅助队列的尾   int *ins = (int *)malloc(num * sizeof(int));       //入度数组   char *tops = (char *)malloc(num * sizeof(char));  //拓扑排序结果数组，记录每个节点排序后的序号   int *queue = (int *)malloc(num * sizeof(int));     //辅助队列   assert(ins != NULL && tops != NULL && queue != NULL)   memset(ins, 0, num * sizeof(int));   memset(tops, 0, num * sizeof(char));   memset(queue, 0, num * sizeof(int));   for(int i = 0; i ivex]++;           node = node->next_edge;      }  }   for(int i = 0; i ivex]--;    //将节点node关联的节点的入度减1           if(ins[node->ivex] == 0)   //若节点的入度为0，则将其添加到队列中               queue[rear++] = node->ivex;           node = node->next_edge;      }  }   if(index != G.vexnum)  {       printf(“Graph has a cycle!”);       free(queue);       free(ins);       free(tops);       return 1;  //1表示失败，该有向图是有环的  }   printf(“== TopSort: ”);   //打印拓扑排序结果   for(int i = 0; i 

7. 最小生成树

所谓最小生成树就是将图中的顶点全部连接起来，此时这个边的权重最小，并且连接起来的是一个无环的树。很容易知道，若此时的顶点是n，则边的数量为n-1。所以在一个图中找最小生成树就是找最小权值的边，让这些边连成一棵树。常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。

7. 1Prim算法

该算法就是每次迭代选择权值最小的边对应的点，加入到最小生成树中。具体实现如下所示。

第一步：选取顶点A，此时U={A}，V-U={B,C,D,E,F,G}。

第二步：选取与A点连接的权值最小的边，此时就会选择到B，U={A,B}，V-U={C,D,E,F,G}。

以上面的步骤类推，得到如上图所示的结果，此时U={A,B,C,D,E,F}，V-U={G}。注意到C是此次加入的点，而G没有加入，此时G点的边应该如何选择？

最终，得到如图所示的最小生成树，此时U={A,B,C,D,E,F,G}，V-U={}。

#define INF (~(0x1<<31))  //最大值(即0X7FFFFFFF)//返回ch在邻接表中的位置static int get_position(LGraph G, char ch){   for(int i = 0; i 的权值；若start到end不连通，则返回无穷大   int getWeight(LGraph G, int start, int end)  {       ENode *node;       if(start == end)           return 0;       node = G.vexs[start].first_edge;       while(node != NULL)      {           if(end == node->ivex)               return node->weight;       node = node->next_edge;      }       return INF;  }   void Prim(LGraph G,int start)  //从图中的第start个元素开始，生成最小树  {       int index = 0;    //prim最小树的索引，即prims数组的索引       char prims[MAX];  //prim最小树的结果数组       int wights[MAX];   //顶点间边的权重       //prim最小生成树中第一个数，即图中的第start个数       prims[index++] = G.vexs[start].data;       for(int i = 0; i 

7.2 Kruskal算法

该算法的核心就是对权值进行排序，然后从最小的权值开始，不断增大权值，如何该权值的所在边的两个顶点没有存在的路径连在一起，则加入这条边，否则，则舍弃这条边，知道所有的点都在这颗树中。

如下所示的一个图，我们从中找出最小生成树。

对于左边所示的图，对各个边的权值排序之后，我们最先找到权值最小的边，即AD。然后我们发现还有一个CE，于是CE也会被标记起来。

对于左边所示的图，对各个边的权值排序之后，我们最先找到权值最小的边，即AD。然后我们发现还有一个CE，于是CE也会被标记起来。

typedef struct edata  //边的结构体{   char start;  //边的起点   char end;   //边的终点   int weight;  //边的权重}EData;EData *get_edges(LGraph G){   int index = 0;   ENode *node;   EData *edges;   edges = (EData *)malloc(G.edgnum * sizeof(EData));   for(int i = 0; i ivex > i)          {               edges[index].start = G.vexs[i].data;               edges[index].end = G.vexs[node->ivex].data;               edges[index].weight = node->weight;               index++;          }           node = node->next_edge;      }  }   return edges;}void Kruskal(LGraph G){   int index = 0;     //rets数组的索引   int vends[MAX] = {0};    //用于保存“已有最小生成树”中每个顶点在该最小树中的终点   EData rets[MAX];    //结果数组，保存kruskal最小生成树的边   EData *edges;     //图对应的所有边   edges = get_edges(G);   //获取图中所有的边   Sorted_edges(edges, G.edgenum);   //对边按照权值进行排序   for(int i = 0; i 

例题分析

785. 判断二分图

给定一个无向图graph，当这个图为二分图时返回true。

如果我们能将一个图的节点集合分割成两个独立的子集A和B，并使图中的每一条边的两个节点一个来自A集合，一个来自B集合，我们就将这个图称为二分图。

graph将会以邻接表方式给出，graph[i]表示图中与节点i相连的所有节点。每个节点都是一个在0到graph.length-1之间的整数。这图中没有自环和平行边：graph[i] 中不存在i，并且graph[i]中没有重复的值。

示例 1:输入: [[1,3], [0,2], [1,3], [0,2]]输出: true解释:无向图如下:0----1|   ||   |3----2我们可以将节点分成两组: {0, 2} 和 {1, 3}。

示例 2:输入: [[1,2,3], [0,2], [0,1,3], [0,2]]输出: false解释:无向图如下:0----1|  ||  |3----2我们不能将节点分割成两个独立的子集。

好了, 自己研究了半天, 题都没有研究明白,我决定放弃了, 要是哪个大佬知道, 快来教教我吧, 我们今天把树是个什么东西就好了!

graph 的长度范围为 [1, 100]。graph[i] 中的元素的范围为 [0, graph.length - 1]。graph[i] 不会包含 i 或者有重复的值。图是无向的: 如果j 在 graph[i]里边, 那么 i 也会在 graph[j]里边。