矩阵方程有解判定定理

线性方程组有解判定

• 线性方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$有解的充分必要条件是它的系数矩阵A和增广矩阵$(A,\mathbf{b})$具有相同的秩$R(A)=R(A,\mathbf{b})$,记$r=R(A)=R(A,\mathbf{b})$:

  • 若$r=n$有方程组有唯一解
  • 若$r<n$方程组有多解

• 对于非齐次线性方程,需要计算$R(A),R(A,\mathbf{b})$

• 对于齐次线性方程只需要计算$R(A)$

特化:齐次线性方程组有解判定

• 这是线性方程组有解的特例,可以将定理进一步简化

• 齐次线性方程组$A\mathbf{x}=0$齐次方程组的情况可以理解为$\mathbf{b}$中元素全为0

• 容易知道$A\mathbf{x}=0$总有$R(A)=R(\overline{A})=r$,因此齐次线性方程组总是有解;

  • 我们只需要计算系数矩阵$A$的秩$R(A)$即可得到$r$
  • 若$r=n$则方程组有唯一解,并且是零解
  • 若$r<n$方程组有非零解

• 齐次线性方程组有解判定定理:齐次线性方程组$A\mathbf{x}=0$有解的充要条件是$R(A)⩽n$;

  • 有零解(唯一解)的充要条件是$R(A)=n$
  • 有非零解(多解)的充要条件是$R(A)<n$;

推广:矩阵方程$AX=B$有解判定

• 这里$B$是常数项矩阵(不再是系数矩阵的增广矩阵)
• 定理:矩阵方程$AX=B$有解的充要条件是$R(A)=R(A,B)$

  • 注意这里$X,B$不一定是向量,可能是多行多列的矩阵

  • 参考同济线代v6@p76@定理6

证明

• 设$A,X,B$分别为$m\times n$,$n\times l$,$m\times l$的矩阵

• 对X和B按列分块:

  • $X$=$({\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\cdots {\mathbf{x}}_l)$,
  • $B$=$({\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\cdots {\mathbf{b}}_l)$

• 矩阵方程$AX=B$等价于$l$个向量方程(线性方程组)

• $AX=A({\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\cdots {\mathbf{x}}_l)$=$(A{\mathbf{x}}_1,A{\mathbf{x}}_2,\cdots A{\mathbf{x}}_l)$

• 所有$AX=B$等价于$(A{\mathbf{x}}_1,A{\mathbf{x}}_2,\cdots A{\mathbf{x}}_l)$=$({\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\cdots {\mathbf{b}}_l)$

  • 又等价于$A{\mathbf{x}}_i={\mathbf{b}}_i(i=1,2,\cdots ,l)$共$l$个线性方程组
  • 这些线性方程的共同点是有相同的系数矩阵$A$,这意味着这$l$个线性方程组以及原矩阵方程的系数矩阵的秩都是相等的,这个结论很重要
  • 而位置数矩阵和常数项矩阵又是相对独立的

• 设$R(A)=r$,且$A$的行阶梯形矩阵为$\tilde{A}$,则$\tilde{A}$有$r$个非零行,且$\tilde{A}$的后$m-r$行为全零行

• $(A,B)$=$(A,{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\cdots {\mathbf{b}}_l)$ $\stackrel{r}{\sim }$ $(\tilde{A},\widetilde{{\mathbf{b}}_1},\cdots ,\widetilde{{\mathbf{b}}_l})$

  • 其中$\tilde{A}$是$A$的行阶梯形矩阵
  • 而向量$\widetilde{{\mathbf{b}}_1},\cdots ,\widetilde{{\mathbf{b}}_l}$是${\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\cdots {\mathbf{b}}_l$与$A\stackrel{r}{\sim }\tilde{A}$执行相同的行变换后的结果,即$\widetilde{{\mathbf{b}}_i}$并不表示某个行阶梯形矩阵

• 将等价的第$i$个线性方程组的增广矩阵初等行变换为行阶梯形矩阵:$(A,{\mathbf{b}}_i)$ $\stackrel{r}{\sim }$ $(\tilde{A},\widetilde{{\mathbf{b}}_i})$,$(i=1,2,\cdots ,l)$

• $AX=B$有解$\iff$ $A{\mathbf{x}}_i={\mathbf{b}}_i$ $(i=1,2,\cdots ,l)$有解

  • $\iff$ $R(A,{\mathbf{b}}_i)$=$R(A)=r$,$(i=1,2,\cdots ,l)$
  • $\iff$ $\widetilde{{\mathbf{b}}_i}$的后$m-r$个分量(元)全为0$(i=1,2,\cdots ,l)$
    • 因为,若后$m-r$个元中存在非零元,会导致$R(A,{\mathbf{b}}_i)>R(A)$,导致$A{\mathbf{x}}_i={\mathbf{b}}_i$无解
    • 而其前$r$个元的取值情况不会影响$R(A,{\mathbf{b}}_i)$=$R(A)$的成立,我们不关心
  • $\iff$ 矩阵$(\widetilde{{\mathbf{b}}_1},\cdots ,\widetilde{{\mathbf{b}}_l})$的后$m-r$行全为0;
  • $\iff$ 行阶梯形矩阵$\tilde{D}$=$(\tilde{A},\widetilde{{\mathbf{b}}_1},\cdots ,\widetilde{{\mathbf{b}}_l})$的后$m-r$行全为0
  • $\iff$ $R(\tilde{D})⩽m-(m-r)=r$,又因为$\tilde{D}$包含了$\tilde{A}$,所以$R(\tilde{A})=r⩽R(\tilde{D})$
  • $\iff$ $R(\tilde{D})=r$
  • $\iff R(A,B)=R(A)$

• 因此,如果$AX=B$有解,则$R(A,B)=R(A)$

推论

• 若$AX=B$有解,则$R(B)⩽R(A,B)=R(A)$,所以$R(B)⩽R(A)$,即常数项矩阵的秩小于系数矩阵的秩
• 对$AX=B$两边同时取转置运算,有$X^T{A}^T=B^T$,同理有$R(B^T)⩽R(X^T)$,即$R(B)⩽R(X)$
• 综上,$R(B)⩽\min (R(A),R(X))$