loss function

什么是loss?

loss: loss是我们用来对模型满意程度的指标。loss设计的原则是：模型越好loss越低，模型越差loss越高，但也有过拟合的情况。　　
loss function: 在分类问题中，输入样本经过含权重矩阵θ的模型后会得出关于各个类别的分值，如何通过分值与样本的标签来得到我们对模型的满意程度就是Loss function的主要工作了。训练过程中通过调整参数矩阵θ来降低loss，使用模型更优。多分类问题中常用Softmax分类器与多类SVM分类器。　

Softmax分类器

Softmax与logistict回归

Softmax分类器将类别分值用负对数转换为概率来表示，相对于multiclass-SVM的输出更为直观。
Softmax分类器的损失函数为交叉熵损失 (cross-entropy loss)，即通常所说的Softmax loss。logistic回归是用来解决二分类问题的，其损失函数与Softmax与有很相似的形式。

Softmax的损失函数：　　//1表示指示函数，即真值返回1，否则返回0

　　　　 \begin{align} J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }}\right] \end{align}

logistic回归的损失函数：　　

　　　　　　
\begin{align}
J(\theta) =
-\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) \right]
\end{align}

可以看出，将（1）式中k=2即可得到（2）式

Softmax对样本x的分类结果（假设函数）：

\begin{align}
h_\theta(x^{(i)}) =
\begin{bmatrix}
p(y^{(i)} = 1 | x^{(i)}; \theta) \
p(y^{(i)} = 2 | x^{(i)}; \theta) \
\vdots \
p(y^{(i)} = k | x^{(i)}; \theta)
\end{bmatrix}
=
\frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} }
\begin{bmatrix}
e^{ \theta_1^T x^{(i)} } \
e^{ \theta_2^T x^{(i)} } \
\vdots \
e^{ \theta_k^T x^{(i)} } \
\end{bmatrix}
\end{align}
　　

logistic回归的分类结果(假设函数)：

　　　　　　\begin{align}
h_\theta(x) = \frac{1}{1+\exp(-\theta^Tx)},
\end{align}　　　

但（3）式与（4）式有什么关系呢？

原来Softmax预测出每个类别的概率具有“参数冗余”的特性。“参数冗余”是指：若矩阵θ为代价函数的极小值点，那么θ-Ψ也为代价函数的极小值点。(ψ为向量，并且矩阵-向量=矩阵每个列向量-向量)

　　　　　　　　　　
\begin{align}
p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta)
&= \frac{e^{(\theta_j-\psi)^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ (\theta_l-\psi)^T x^{(i)}}} \
&= \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}} e^{-\psi^Tx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{\theta_l^T x^{(i)}} e^{-\psi^Tx^{(i)}}} \
&= \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)}}}.
\end{align}

这时，令ψ=θ1、k=2，可得到(3) 等价于(4)的结论

所以，Softmax其实是logistic regression将二分类问题推广到多分类问题的一般形式。

但是Softmax分类器与k个logistic回归分类器还是有区别的：

通常，当k个类别之间互斥时使用k=k的Softmax分类器，当k个类别之间与交集时使用k个logistic回归分类器。　

Softmax分类器为什么要正则化损失项？

求解loss最小值时往往不是简单利用“参数冗余”将θ1=0，而是加入权重衰减(正则化损失)来惩罚过大的参数值。加入正则化损失后的代价函数为：
　　　

\begin{align}\notag J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }} \right] + \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^n \theta_{ij}^2 \end{align}

其中，第二项为正则化损失荐，加入该项的加一个好处是将代价函数变为一个凸函数。

简单实例

在一个三类别模型预测的过程中，假设输出的分值向量为[1, -2, 0]

则分类计算过过程： [1，-2， 0] => [e1, e-2, e0]=[2.71, 0.14, 1]//熵值化 => [0.7， 0.04， 0.26] //归一化为概率

算法实践

后续补充

Multiclass SVM

基本思想：正常确类别的分值比错误类别的分值高出一个间距(margin)
Multiclass SVM分类器的损失函数为hinge loss，也称为SVM loss。

hinge loss

@hinge loss | center

算法实践

已知

在一个三类别模型预测的过程中，假设输出的分值向量为[13， -7， 11]
我们知道标签为1，即第一个类别为正确类别
\(\Delta=10\)

计算过程

因为\(y_{i}\)=1, 所以\(j只能=2、3\)
\[L_{2}=max(0,-7-13+10)=0\]
\[L_{3}=max(0,11-13+10)=8\]
所以，
\[L_{i}=0+8=8\]
从上面的计算过程可以看出SVM的损失函数想要正确分类类别\(y_{i}\)的分数比不正确类别分数高，而且至少要高\(\Delta\)。如果不满足这点，就开始计算损失值。