BZOJ4856 JSOI2016 病毒感染 区间DP

传送门

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题意：太长不给

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这种题目一看就是区间DP

设$f_i$表示治愈了前$i$个村子的时候最少死了多少村民，又设前缀和为$sum_i$，通过枚举折返时最后经过的村子$j$，并且提前计算$i+1$到$N$中死的村民数量，可以得到这样子的方程：$$f_i=\min\limits_{j=1}^i\{f_{j-1}+g_{j,i}+(sum_N-sum_i) \times ((i-j) \times 3 + (i-j+1) + 1)\}$$其中$g_{j,i}$表示从$j$到$i$到$j$再到$i$的过程中最少的死的村民数量，保证$j$号点一开始没有被治愈。

所以我们现在的关键点是求出$g_{j,i}$。考虑到在$j$与$i$之间的村子不知道是在$j$到$i$的路上被治愈还是在$i$到$j$的路上被治愈，所以考虑预处理这一项。

考虑设$h_{i,j}$表示从到达$i$点开始计算死亡人数，完成治愈完$i$到$j$村庄的人的任务的前提下最少的死亡人数。考虑第$i$个村庄是否在一开始就治愈，可以得到转移方程：$$h_{i,j}=h_{i+1,j}+\min\{sum_j-sum_i + a_i \times ((j - i) \times 3) , (sum_j - sum_i) \times 2\}$$

那么$g_{i,j}=h_{i+1,j} + sum_j - sum_i + num_i \times ((j - i) \times 3)$，然后这道题就做完了（撒花

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read(){
    int a = 0;
    char c = getchar();
    while(!isdigit(c))
        c = getchar();
    while(isdigit(c)){
        a = (a << 3) + (a << 1) + (c ^ '0');
        c = getchar();
    }
    return a;
}

long long f[3010][3010] , g[3010] , num[3010] , sum[3010] , N;

int main(){
    memset(g , 0x3f , sizeof(g));
    g[0] = 0;
    N = read();
    for(int i = 1 ; i <= N ; i++)
        sum[i] = (num[i] = read()) + sum[i - 1];
    for(int i = N - 1 ; i ; i--)
        for(int j = i + 1 ; j <= N ; j++)
            f[i][j] = f[i + 1][j] + min(sum[j] - sum[i] << 1 , sum[j] - sum[i] + num[i] * 3 * (j - i));
    for(int i = 1 ; i < N ; i++)
        for(int j = i + 1 ; j <= N ; j++)
            f[i][j] = f[i + 1][j] + sum[j] - sum[i] + num[i] * 3 * (j - i);
    for(int i = 1 ; i <= N ; i++)
        for(int j = i ; j ; j--)
            g[i] = min(g[i] , g[j - 1] + f[j][i] + (sum[N] - sum[i]) * ((i - j << 2) + 2));
    cout << g[N];
    return 0;
}