Dense Non-rigid Surface Registration Using High-Order Graph Matching
一.摘要
提出高阶图匹配方程来解决非刚性表面配准问题，单阶项描述了几何和外观相似性（曲率和纹理），高阶项对内部嵌入能量（intrinsic embedding energy）进行建模。
三个创新点：
1、将3D表面配准转化为图匹配问题，结合了几何外观相似性和内在信息；
2、用高阶图匹配算法解决了非凸优化问题；
3、有效的两级优化算法，限制了稠密表面配准的搜索空间。
二、引言
问题中往往有局部的高维度的自由形变，为了解决这个问题，多种现有方法是通过将表面嵌入到一个保持地线或角度的正则域中来获得密集点的对应关系。这种嵌入需要一组初始的特征对应或边界条件。但上述方法难以找到可靠的特征对应点和连续的边界条件。为了解决这个问题，[34]考虑了一种优先级驱动的策略，在等距假设的基础上寻找稀疏特征的对应关系。在[22]中引入了一种Mobius投票方案，在两个稀疏特征集之间寻找对应关系。但稠密配准效果不好。此外，由于大多数表面形变不是等距的，仅考虑内在信息会引入误差，考虑外在相似性也很重要。
近年来，图匹配成为一个建立特征对应的有效框架，结合了表面相似性和几何兼容性。以往已将其应用于图像特征。仅考虑单阶匹配，即指派问题。对于二阶匹配问题（pairwise matching ），[28]提出采用双分解方法，这对于求解非凸能量函数很有用。对于高阶匹配问题，以往包括概率超图、张量度量，当能量函数为凸时优化效果较好，非凸未知。
图匹配已经成功应用于二维图像，但三维表面不能再欧几里得二维域内表示，所以两点的距离无法以封闭形式计算。根据单值化理论，任何3D 表面可以被保形映射到2D域。 然而，这种保形映射并不是唯一的。通过Mobius变换可以捕捉到保角映射集合。在将拓扑的表面等价于球体的情况下，至少需要三个对应关系来确定一个唯一的保形映射，可以以封闭形式计算，这就可以将图匹配应用于表面配准。由于Mobius变换是通过在曲面上固定任意三个点来唯一确定的，所以我们可以通过高阶图的相互作用来有效地模拟嵌入的能量。
思路：曲率和纹理等测量方法描述几何和外观相似性，高阶图相互作用对内部嵌入能量建模。这些度量是在一个高阶图匹配框架中使用的，该框架使用伪布尔公式以有效的方式解决。这种方法将高阶项降低为二次项[15]，并基于双分解技术得到近似最优解。最后，提出了一种通过候选选择和局部图匹配来约束搜索空间的层次算法，该算法允许以子顶点精度实现稠密的表面配准。
三、数学方程
通过对方程的全局优化实现，方程包括形变消耗和匹配消耗。能解决含有部分重叠的非等距表面配准问题。由于这种高阶图匹配具有非凸能量函数，一般很难直接用[13]等现有技术来求解。本文采用伪布尔公式将高阶项减少到二次项。因此，基于dual分解技术可以得到全局最优或近似最优解。
1、伪布尔方程
大多数算法选择松弛求解，这里将其降为二阶项
这样高阶图匹配问题变为伪布尔优化问题：
因为正系数θ∞编码匹配约束,能量函数5非凸,一般来说这是一个np难问题。伪布尔公式的优点是，理论上任何高阶项都可以简化为一个二次项。本文采用灵活的双分解技术，得到近似最优解。
2、势函数
仅考虑一阶三阶项
（1）一阶势
旋转图像
（2）高阶势
根据单值化定理，任何三维表面都可以被展平到一个规范的2D域，因此，每个特征点在复平面上都有一个参数坐标。这种保角映射的灵活性在于可以用一个Mobius变换来表示，这个变换可以通过固定表面上的任意三个点来唯一地确定。我们基于Mobius变换计算两个triplets之间的匹配分值作为的变形误差。
仅考虑Mobius变换会导致等距模糊。因而再考虑表面的高斯分布。高斯映射被定义为平面上每个点上的法线到单位球的映射，表达了外部几何信息。每个triplets 都有方向，当且仅当两个triplets的法线有相同的符号，他们的方向才相同。如下：
3、优化和计算复杂度
对偶分解是将原问题分解成几个容易解决的子问题。
theta代表单、双、三阶项的权重向量；I代表子问题的集合；
rou代表每个子问题的权重。原问题可以这样解决：更新每个子问题σ的参数θσ,对偶问题的能量增加。 同时有以下分解约束：
我们把原问题分解成三个子问题：
（1）仅考虑单阶项的线性问题，即线性指派问题；
（2）高阶伪布尔子问题通过将高阶项降为二阶项，可以用QPBO算法求解；
（3）将原表面分为小区域的局部子问题可以用穷举法在每个小区域内寻找最优解；
四、稠密表面配准
1 两级优化策略：稀疏特征匹配+稠密点匹配
由于初始特征点是在网格边缘的顶点和中间点选择的，如果网格分辨率较低，匹配结果可能是不可靠的。为了解决上述问题，我们考虑了由不同的Mobius变换引起的所有正形映射，它们由两个表面之间的每三个对应关系决定，用于密集点匹配。
Candidate Voting(候选投票): 在稀疏阶段计算出了两个表面间的稀疏对应点，由于表面形变不是等距的，我们提出基于莫尔比斯变换的投票策略来弥补近似误差。给定任意三个对应点对，莫尔比斯变换都可以以封闭形式计算。所以S1上任一点都会映射到S2上一个不同的候选位置。因此通过考虑特征对应的所有可能的变换，可以得到原表面到目标表面的所有候选对应关系。
Candidate clustering（候选聚类）：S2上的投票候选点是通过对齐三个对应关系得到的，该匹配能量中存在莫尔比斯代价，因此该代价越低且曲率和纹理越接近，两个点匹配的可能性越大。因此定义每个候选匹配点的可能性：
2 局部高阶图匹配
新目标是为每个稠密点寻找一个好的局部匹配位置，该问题类似于高阶图匹配问题。由于候选投票策略已经去除了由莫尔比斯变换导致的模糊，现在仅需要考虑基于纹理和几何相似性的匹配代价，以及方向连续性。在单值化域内，每个三角形和他的匹配三角形应该有相同的方向，即无翻转。
并不能保证每个点都有至少一个匹配点，因此，我们删除没有任何匹配的候选点，并通过Delaunay三角测量算法在单值化域中获得对S1剩余点的三角剖分。
假设S1上每个点p只能有最多一个候选点，则有如下约束：
这样，可用上述优化算法解决这个问题。
与高阶图匹配算法相比，我们的局部图匹配算法的一个主要优点是，每个点的匹配候选数通常小于6，因此，变量的数量非常小。在局部地匹配n个点时，只有O(n)个变量和O(n)个三阶项，因为密集点在平面参数域中是三角化的。
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