@bzoj - 2388@ 旅行规划

@description@
@solution@
@accepted code@
@details@

@description@

请你维护一个序列，支持两种操作：
（1）某个区间 [x, y] 内的数同时加上一个增量 k。
（2）询问某一个区间 [x, y] 中从 1 开始的最大前缀和。

input
第一行给出一个整数 n。n <= 100000。接下来一行 n 个整数表示序列的初始值。
第三行给出一个整数 m，m <= 100000。接下来 m 行每行一个操作。
（1） 0 x y k：表示给区间 [x, y] 同时加上 k。
（2） 1 x y：询问区间 [x, y]。
output
对于每个询问，输出一个整数表示最大前缀和。

sample input
5
1 8 -8 3 -7
3
1 1 5
0 1 3 6
1 2 4
sample output
9
22

@solution@

我们考虑直接维护前缀和序列，则操作（2）就是在查询区间最大值。

而对于操作（1），我们相当于两部分操作：
对于 x <= i <= y，给 i 位置加上 (i-x+1)*k；对于 y < i，给 i 位置加上 (y-x+1)*k。
前一个可以拆成 (-x+1)*k + i*k，是常数 + 系数*位置的形式；后面那个也可以看成这种形式，只是位置前面的系数为 0。

看起来还是不好维护，但是我们可以注意到这样一件事情：对于某一个位置 i，它的值总是形如 k*i + b 的形式。
直线解析式。所以我们考虑用几何方法来维护这种东西。几何方法当然首先想到凸包。

每次操作相当于给区间内所有点的斜率与截距同时加上增量，手算一下会发现这个区间相邻两点之间的斜率也会同时增加 k，这样也就是说这个区间的凸包形状不会变化。

线段树不太好搞~~（况且这道题时限 50s ）~~，我们考虑使用分块算法来维护凸包。
修改时，散块暴力修改并重构凸包，整块打标记，记录这个区间整体的斜率与截距变化量。
查询时，散块暴力求答案，整块凸包上二分。

时间复杂度 \(O(n\sqrt{n}\log n)\)

@accepted code@

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 100000;
const int BLOCK = 320;
const ll INF = (1ll<<62);
ll sp[BLOCK + 5], b1[MAXN + 5], b2[BLOCK + 5];
int le[BLOCK + 5], ri[BLOCK + 5], num[MAXN + 5];
int stk[MAXN + 5], tp[BLOCK + 5], n, m, bcnt = 0;
ll get_ans(int x) {return sp[num[x]]*x + b1[x] + b2[num[x]];
}
ll query(int x) {int l = le[x], r = tp[x];while( l < r ) {int mid = (l + r) >> 1;if( get_ans(stk[mid]) >= get_ans(stk[mid+1]) ) r = mid;else l = mid + 1;}return get_ans(stk[r]);
}
void push_tag(int x) {for(int i=le[x];i<=ri[x];i++)b1[i] = get_ans(i);sp[x] = b2[x] = 0;
}
void build(int x) {tp[x] = le[x] - 1;for(int i=le[x];i<=ri[x];i++) {while( tp[x] > le[x] && (get_ans(i) - get_ans(stk[tp[x]]))*(stk[tp[x]] - stk[tp[x] - 1]) >= (get_ans(stk[tp[x]])-get_ans(stk[tp[x] - 1]))*(i - stk[tp[x]]) )tp[x]--;stk[++tp[x]] = i;}
}
void init() {for(int i=0;i<n;i++) {if( i % BLOCK == 0 ) {num[i] = (++bcnt);le[num[i]] = ri[num[i]] = i;sp[num[i]] = b2[num[i]] = 0;}else ri[num[i] = bcnt]++;}
}
int main() {scanf("%d", &n); init();for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lld", &b1[i]), b1[i] += b1[i-1];for(int i=1;i<=bcnt;i++)build(i);scanf("%d", &m);for(int i=1;i<=m;i++) {int op, x, y; ll k;scanf("%d%d%d", &op, &x, &y);x--, y--;if( op == 0 ) {scanf("%lld", &k);if( num[x] != num[y] ) {push_tag(num[x]), push_tag(num[y]);for(int i=x;i<=ri[num[x]];i++)b1[i] += k*(i-x+1);for(int i=le[num[y]];i<=y;i++)b1[i] += k*(i-x+1);for(int i=y+1;i<=ri[num[y]];i++)b1[i] += k*(y-x+1);build(num[x]), build(num[y]);for(int i=num[x]+1;i<=num[y]-1;i++)sp[i] += k, b2[i] += k*(-x+1);}else {push_tag(num[x]);for(int i=x;i<=y;i++)b1[i] += k*(i-x+1);for(int i=y+1;i<=ri[num[y]];i++)b1[i] += k*(y-x+1);build(num[x]);}for(int i=num[y]+1;i<=bcnt;i++)b2[i] += k*(y-x+1);}else {ll ans = -INF;if( num[x] != num[y] ) {for(int i=x;i<=ri[num[x]];i++)ans = max(ans, get_ans(i));for(int i=le[num[y]];i<=y;i++)ans = max(ans, get_ans(i));for(int i=num[x]+1;i<=num[y]-1;i++)ans = max(ans, query(i));}else {for(int i=x;i<=y;i++)ans = max(ans, get_ans(i));}printf("%lld\n", ans);}}
}