很久没有写过与自己专业相关的文章了，于是计划穿插进几篇有关电磁波的深度科普的文章。计划分为几个部分：zdr0：深度科普---电磁波（一）：真空中的Maxwell方程组zhuanlan.zhihu.com
1. 真空中的方程组
2. 材料中的方程组和电磁场的边值条件
3. 无激励下的真空中的方程组的解---电磁波（本文章）
4. 稳定状态下的边值条件及其结论
相信大家看完这个系列的文章之后会对电磁波有一定的认识。
通过前两篇文章的介绍，相信大家对
首先，什么叫做无激励呢？这里的无激励指的是在真空中的
现给出真空的无激励的
这是一个偏微分方程租，直接求解的话估计做不到。所以为了将这四个方程联系起来我们需要用到旋度算符的一个性质：
对任意矢量场
我们就利用旋度算符的这个性质将
：
且：
即：
方程
其中
对于这个形式的波动方程，有一种叫做
这个解的表达方式并非空穴来风，比如由一下初值确定的解：
：
设：现有一维线性波动方程
以及给定的初值条件：
我们利用变换法进行求解，首先，现将所给定的初值进行
变换：
其中：为
方向上的
变换，而
为
方向的
变换。
之后在对整个方程进行变换：
其中：
于是我们得到了一个二阶常系数线性齐次常微分方程，从而特征方程和特征根为：
进而得到该常微分方程的通解：
则：
代入变换之后的初值条件：
从而得到在此初值条件下的该常微分方程的特解：
利用变换的卷积性质：
得到：
即：
这里只是其中一种初值问题的通解，对于解应该是其他形式的初值问题或者边值问题的通解。
那么该如何去理解这个
为了方便解释，我们再次将
- 对于第一式，可以看做是两个传送波的叠加，这两个传送波分别是向左传播的
和向右传播的
，且在该式中，参数应是时间
，因为
的量纲与时间
的量纲一致。比如，若现在在两个确定的时间
和
观察该传送波，
相当于在这段距离上传播了
的距离。
- 对于第二式，可以看做是两个传送波的叠加，这两个传送波分别是向左传播的
和向右传播的
，且在该式中，参数应是位移
，因为
的量纲与位移
的量纲一致。比如，若现在在两个确定的位移
和
观察该传送波，
相当于在这段距离上传播了
的时间。
我们现在比较感兴趣的是
：首先，我们设：
值得一说的是虽然上面的四个偏导数都为零，但这并不意味着都是常数，比如
可以是：
这样
必然等于零。
之后由我们可以知道：
，也就是说
。也就是说
在波的传播过程中没有贡献，只有所谓的“传播分量”
还存在。
这样的话就是波的传播方向，且
（这是当然，因为
两个方向本来就是垂直的）。而对于
来讲，前面已经假设了
，这就意味着
，同理
,可以得到的是四个波动方程，比如：
其中：。
波速，特别的，在真空中：是
现在我们拿到电磁感应定律：
，代入
有：
由之前的假设我们知道，由于所以其在任意方向上的偏导数都为
，而且
且对时间的偏导数也为零。这样，我们就得到了：
即：
这样就说明了是相互垂直的，且
三者构成右手系。
当
- 在传播方向
上传播的电磁波
的相与传播方向有关，且与
垂直的平面称为传播面，在空间中是不变的。
- 对于行进波：
构成右手系。当然，不是说这三个量随便排就可以，下一篇文章中会具体讨论。
对于一个稳定的，单色光的解是一个正弦或余弦型函数。这样的稳态解可以利用下面的复函数的形式进行表示：
上式是一维的情况。上式中的
- 振幅
- 角频率
- 波矢量
和传播方向
也就是说上面的这个稳态解其实只对应于一维的情况，当然你也许发现了，上面的波矢量
从上面可以看出：的方向就是
的方向，也就是传播方向。这对于一维的情况也是通用的，即：
。
而
其中：
在介质中有：
其中：
在材料中，折射率一般是复数，即：
：
假设平面波沿方向传播，则有：
从而定义：
即有：
显然，虚数部分在衰减因子中。即振幅
按指数规律衰减。
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