什么是构造

小学中学奥数
先用数学解决再编程实现的构造题
一般算法无法解决
\(NOI+\)难度\(PJ-\)代码量
坑

构造举例

CF743C Vladik and fractions

题目让我们构造一组数字,满足\(\frac{2}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\)
~~第一眼看到就想到~~听老师讲了半天才知道这不是简单的OI题目,而是先用数学解决再编程实现的构造题
我们考虑如何构造:

\[ \dfrac{2}{n} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \]

首先容易想到\(\frac{2}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n}\)
这样我们可以令\(x = n\),对原式化简可以推出\(\frac{1}{n} = \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\)
我们考虑~~人人都要在推数列时用到的~~一个公式:

\[ \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x-1} = \dfrac{x}{x \times (x-1)} - \dfrac{x-1}{x \times (x-1)}= \dfrac{1}{x \times ( x-1)} \]

那么我们就有了\[\frac{1}{x} = \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x \times (x - 1)}\]
把上式中的\(x\)替换成\(n\)这一题就出来了.

#include <iostream>using namespace std;int N;int main()
{cin >> N;if(N == 1){cout << -1 << endl;return 0;}else {cout << N <<' '<< N+1 <<' '<< N*(N+1);}return 0;
}

P3599 Koishi Loves Construction

这一题就是个坑,虽然大多数构造都是坑,但是您就不能给一组std的结果么?

task1

我们先考虑\(task1\),要求求出一组\(1-N\)排列使得其前缀和在\(\% N\)意义下各不相同.
我们发现排列中\(N\)前一项和自己这一项的前缀和相等,所以\(N\)只能处于排列首位
我们考虑取模的性质,对数字加上或者减去\(N\)并不影响答案.
那么第一项为\(N\),其前缀和取模后为\(0\).我们是否能构造出前缀和依次递增\(1\)的序列呢?
想了想好像不行,因为如果想依次递增\(1\),那么每一项都为\(1 + k \times N\ (k \in\ N)\),这显然是不可能的,因为只有\(1\)满足这个条件.
那么我们可以让序列来回震荡么?
考虑前缀和为\(0,1,-1,2,-2,3,-3,\cdots\),我们想想是否可以构造.
第一项为\(N\),第二项为\(1\),第三项为\(N-2\),第四项为\(3\),第五项为\(N-4\) \(\cdots\cdots\)
显然可以构造,只要满足\(N\)偶数即可!
\(N\)为奇数时是否可以构造呢? \(N=1\)时显然可以,之后的\(N=3,5,7\cdots\)时,~~根据官方题解~~:\(\sum^{N}_{i=1}{i} = \frac{N\times(N-1)}{2}\)而\(N\mid\frac{N\times(N-1)}{2}\).故无解.

task2

我们同样发现,\(N\)出现后的前缀积全为\(0\),所以\(N\)必须在最后一位出现,同理\(1\)出现前一位的前缀积和自己这一项的前缀积相等,所以\(1\)必须出现在第一项.
然后考虑如何构造,先考虑递增的.
第一项为\(1\),我们是否能构造出第\(k,k\not = N\)项前缀积为\(k\)呢?
那么,每一项应该为\(1,\frac{2}{1},\frac{3}{2},\frac{4}{3},\cdots\),考虑\(x \cdot inv(x)\equiv1(mod\ N)\),我们可以有如下转化\(\frac{k}{k-1} = k \cdot inv(k-1)\),然后坑比样例不是这样给的,但是这样是对的.
思考下什么时候无法构造,如果\(N\)不为质数和\(4\),那么\(N\mid (N-1)!\)是一定的,对于\(4\),其因子在\(3!\)只出现一次,成立.
特判一下\(1\)和\(4\),这一题也做完了.