【README】

1.本文内容总结自“哈工大刘宏伟”老师的mooc视频《计算机组成原理》on bilibili；

2.为了便于理解，本文引入了逗号分割符号部分和数值部分，计算机存储数据的时候没有逗号；

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【1】原码表示法

原码定义： 原码是真值保存在计算机当中的数据格式，包括寄存器，内存等；其数值位数是有限的（超出的部分会被丢弃）

例子：

1. 正整数原码： x=+1110 ；x原 = 0,1110 （符号和数值通过逗号隔开）
2. 负整数原码： x=-1110 ；x原 = 10000 - (-1110) = 1,1110；（符号和数值通过逗号隔开）
3. 正小数原码：x=+0.1101；x原=0.1101 （符号和数值通过小数点隔开）
4. 负小数原码：x=-0.1101 ；x原=1 - (-0.1101)  = 1.1101 （符号和数值通过小数点隔开）

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【2】补码表示法

补码定义： 为了把加法和减法合并为加法（归一化），即为了简化算术逻辑单元（ALU）的设计，引入补码让计算机只做加法（把减法转换为加法）；

例： x - y = x + (y)的补码； 这样就可以把减法转换为加法；

补充： CPU = ALU + CU； 中央处理器=算术逻辑单元 + 控制单元；

【引入补码的背景】

 以时钟为例：现在是6点；要想时钟走到3点，有两种方法：

• 方法1： 逆时针拨动3个单元（减3）；
• 方法2： 顺时针拨动9个单元（加9）；

以上两种方法的效果一样（3与9之和为12，mod12），借助以上实例，容易理解补码；

注意：负小数点补码都是取模2；

为啥是模2，因为负整数x的补码是 2^(n+1) + x ，其中n为整数数值部分位数； 又负小数的整数位数为0，所以负小数的补码等于 2^(0+1)+x = 2+x ；

以上公式模拟推导过程（转自视频截图）：

问题： -1011的补数为+0101； 那 +0101表示的是 -1011的补数，还是+0101本身呢？

解决方法：

正数+0101 表示为 0,0101 （符号位,数值部分）正数补码添上1个0；

负数-1011 表示为 1,0101 （符号位,数值部分）负数补码添上1个1 ；

【负数】如何实现在负数补码的符号位设置为1？经观察发现（也可以通过数学归纳法证明出来）负数加上2^(n+1) 得到其补码；n为原码的位数；

取模2^(n+1) ；n=数值位数；

2^(4+1) - 1011=1,0101 ；计算过程如下：

100000

-1011

 =11111 – 1011 + 1 = 10100 + 1 = 10101 ；而补码10101是真值-1011的原码1,1011 的数值部分每位取反（得到10100），末位加1获得的；

【正数】补码也可以通过加上 2^(n+1) 来计算补码；

如正数真值=+1011

01011

  +100000

  =101011

（红色1被丢弃）

【求补码的快捷方式】

计算补码快捷方式：当真值为负数（注意是负数），原码符号位不变，数值部分每位取反，末位加1即可得到补码；

例子：

1. 正整数补码：x=+1000110； x原=0,1000110；x补=0,1000110
2. 负整数补码：x=-1010；x原=1,1010；x补=1,0110
3. 正小数补码：x=+0.1010；x原=0.1010；x补=0.1010
4. 负小数补码：x=-0.1010；x原=1.1010；x补=1.0110

例子2：已知 x补 = 0.0001 ，求x（真值）；

• 因为 x补=x；所以x=+0.0001；

例子3：已知 x补=1.0001；求x(真值) ？

• 因为x补=2+x；
• 所以x(真) = x补 - 2 = 1.0001 - 10.0000 = -(10.0000 - 1.0001) = -0.1111
• 所以 x真=-0.1111 ；x原=1.1111 ；x补=1.0001 ；

通过观察（或数学归纳法证明），我们发现：

1. 补码转原码快捷方式：当真值为负数，则补码符号位不变，数值部分每位取反，末位加1得到原码；
2. 原码转补码快捷方式：当真值为负数，则原码符号位不变，数值部分每位取反，末位加1得到补码；
3. 若X为负数，则【-X】补=【X】补的符号位取反，数值各位取反末位加1；

第3点，以X= -5 为例；

5的补码，原码均为 0,0101 ；即【5】补=0,0101

-5的补码等于 1,【-5】原码=1,0101 符号位不变，数值部分每位取反，末位加1，得到

【-5】补=1,1011；

得出：【-5】补等于【5】补的符号位取反，数值各位取反末位加1 得到； 

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【3】反码

反码： 和补码类似，把减法转换为加法；

通过观察（或数学归纳法证明），我们发现：

1. 反码转原码快捷方式：当真值为负数，则补码符号位不变，数值部分每位取反得到原码（末位不需要加1）；
2. 原码转反码快捷方式：当真值为负数，则原码符号位不变，数值部分每位取反得到补码（末位不需要加1）；

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例子：