[遇见数学创作小组] 作者: 心如止水(Java程序员。善于把复杂的数学知识，简洁易懂地表达出来)

在学三角这部分的时候，有些书习惯列出诱导公式(induction formula)，都列出来的话可以写小半张纸。

那什么是“诱导公式”呢？

“诱导公式”应该是一个老的翻译，“诱导”也就是我们今天所说的“推导”，除了公理之外，那有什么公式不是推导出来的呢？所以说起这种名字就意味着根本就没有名字，因为实在太显而易见了，所以没有人好意思大叫“尤里卡”，没有人好意思冠名。

但是没有名字，交流起来又不方便，所以就干脆这么叫了，这种叫法类似于“孩他娘”。

“显而易见”在哪里？

一堆式子本质上只说了两件事情：

① ×(-1) 几何意义是转 π，× i 是转了 π/2。

② f(-x) 的几何意义是 x 轴对称。

上面是两个老调重弹，然后，再结合两个显而易见的已知事实：

③ ±2π 的几何意义是不变。

④ co 的含义是余角。

这就是所有的“诱导公式”。

你可以看出，这说的都是些最基础的东西，角函数就是这样的地位：它是二维在一维的投影；旋转和平移的桥梁；可以看做比值，它却有简洁的几何定义。

如此简单的事实是怎么变成那么多公式的？

首先，诱导公式并不是用几何形式写的，而用函数语言写的，所以你需要换一种表示方法，或者说换一种观察角度。而我们对这种角度是陌生的，所以就容易产生混乱的感觉，只要习惯了是一样的。

其次，之所以诱导公式能写很长一串，就是因为把 tan/sec/cot/csc 都印上去了，其实这些都可以通过 sin/cos 的变化一眼就看出来，印上去是为了实际的查阅方便，不是为了记忆。不解释一下会“吓人一跳”，懂了之后就很简单，看似很多，其实就那么回事。

➣怎么样从几何视角转换为函数视角呢？

其实就是复数的乘法

sin 与 cos 可以看作投影，“平面上关于 x 轴 对称的点”，在 y 轴 的投影自然是一致的，

y 轴的投影刚好符号相反。

任何角转一圈，从静止的角度来看都是不变的。

co 的意思是余角，余弦就是余角的正弦。

实际该怎么使用呢？

之所以罗列出诱导公式，最重要的目的就是忘记的时候，对照查阅的，如果你手边没有对照表，其实只要动动脑筋就可以想明白：

● 这些变化都是以 π/2 为单位的，所以说只要看到 π/2 的倍数，就知道可以应用诱导公式。

● 如果是 -π/2 奇数倍就是在原来角和余角之间切换，如果是 +π/2 奇数倍就是 × i ；如果是 π 的奇数倍，就是 ×(-1) ；如果发现是上述情况，但是符号不对，那就通过取对称变换符号。

真正重要的公式是“积化和差”，从名字就会看出这个东西有降次作用，在对数表发明之前，天学家们就已经用这个公式来简化计算了，纳皮尔发明对数表，也可能受到了它的启发。

参考资料: 维基百科