正题

题目链接:https://www.ybtoj.com.cn/contest/66/problem/3

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题目大意

给出两个字符串$A,B$，求它们的最长公共子序列。

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解题思路

先考虑朴素的$dp$，设$f_{i,j}$表示到$A$的第$i$个，$B$的第$j$个时候的最长公共子序列长度。

发现这样的$dp$由于A的长度很大，B的长度很小，所以导致$dp$里的数值很小，转移却十分冗长。发现还有一种最优的状态表示法，当匹配到$B$的相同位置且当且公共长度相同时显然在$A$的位置越前越好。那么可以设$f_{i,j}$表示匹配到$B$的第$i$个时，目前公共长度为$j$的在$A$中最前的位置。

时间复杂度$O(26n+m^2)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e6+10,M=1100;
int n,m,last[26],nxt[N][26],f[M][M];
char a[N],b[M];
int main()
{freopen("lcs.in","r",stdin);freopen("lcs.out","w",stdout);scanf("%s",a+1);n=strlen(a+1);scanf("%s",b+1);m=strlen(b+1);for(int i=n;i>=0;i--){for(int j=0;j<26;j++)nxt[i][j]=last[j];if(i)last[a[i]-'a']=i;}memset(f,0x3f,sizeof(f));f[0][0]=0;for(int i=1;i<=m;i++){for(int j=0;j<=i;j++){if(j&&f[i-1][j-1]<=n&&nxt[f[i-1][j-1]][b[i]-'a'])f[i][j]=min(f[i][j],nxt[f[i-1][j-1]][b[i]-'a']);f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j]);}}for(int i=m;i>=0;i--)if(f[m][i]<2147483647/3)return printf("%d\n",i);return 0;
}