正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4322

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题目大意

$n$个点的一棵树，每个节点有一个$(s_i,p_i)$，选择一个点必须选择它的父节点，求选择$K$个点使得$\frac{\sum p_{x_i}}{\sum s_{x_i}}$最大。

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解题思路

我只会做裸题了/kk

直接上$0/1$分数规划然后树形背包。

树形背包要优化，有两种优化方法

• 因为每个节点的容量是$1$，所以$j,k$维枚举的时候只需要枚举到$si{z}_x,si{z}_y$即可，这样时间复杂度是$O(n^2)$的，但是适用性并不强，实际上树形背包常用的优化还是第二种。
• 儿子兄弟表示法，左儿子是它的第一个子节点，右儿子是它的下一个兄弟，那这样就变成了选择左儿子之前必须选择这个点，$dp$即可。当然可以换一种理解方法，那就是两个方程frfnx,j=max{frfnx+sizx,j,fi+1,j−vi+wi}f_{rfn_x,j}=max\{f_{rfn_x+siz_x,j},f_{i+1,j-v_i}+w_i\}frfnx​,j​=max{frfnx​+sizx​,j​,fi+1,j−vi​​+wi​}（$rf{n}_x$指点$x$的$dfs$序列）表示是否$x$跳过这个子树。时间复杂度也是$O(n^2)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2600;
const double eps=1e-5;
struct node{int to,next;
}a[N];
int n,k,tot,cnt,ls[N],dfn[N],siz[N];
double s[N],p[N],f[N][N];
void addl(int x,int y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return;
}
void dfs(int x){siz[x]=1;dfn[cnt++]=x;for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;dfs(y);siz[x]+=siz[y];}return;
}
bool check(double mid){for(int i=n;i>=0;i--){int x=dfn[i];for(int j=0;j<=k;j++)f[i][j]=f[i+siz[x]][j];for(int j=1;j<=k;j++)f[i][j]=max(f[i][j],f[i+1][j-1]+p[x]-s[x]*mid);}return f[0][k]>=0;
}
int main()
{scanf("%d%d",&k,&n);k++;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lf%lf",&s[i],&p[i]);int x;scanf("%d",&x);addl(x,i);}for(int i=1;i<=k;i++)f[n+1][i]=-1e18;double l=0,r=1e4;dfs(0);while(r-l>eps){double mid=(l+r)/2.0;if(check(mid))l=mid;else r=mid;}printf("%.3lf",(l+r)/2.0);
}