定义

• 差分算子$\Delta$：$\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$
• 平移算子$E$：$Ef(x)=f(x+1)$
• 下降幂：$n>0,\{\begin{array}{l}{x}^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)...(x-n+1)\\ x^{\underline{-n}}=\frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)...(x+n)}\end{array}$
• 上升幂：$n>0,\{\begin{array}{l}{x}^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)...(x+n-1)\\ x^{\overline{-n}}=\frac{1}{(x-1)(x-2)(x-3)...(x-n)}\end{array}$
• 阶乘幂(下降幂和上升幂的统称)的简单性质：

1. $x^{\underline{a+b}}=x^{\underline{a}}(x-a{)}^{\underline{b}}$
2. $x^{\overline{a+b}}=x^{\overline{a}}(x+a{)}^{\overline{b}}$
3. $x^{\underline{n}}=(-1{)}^n(-x{)}^{\overline{n}}$
4. $x^{\overline{n}}=(-1{)}^n(-x{)}^{\underline{n}}$
5. $x^{\underline{k}}(x-\frac{1}{2}{)}^{\underline{k}}=\frac{(2x{)}^{\underline{2k}}}{2^{2k}}$
   证明：$$\begin{gathered} x^{\underline{k}}(x-\frac{1}{2}{)}^{\underline{k}} \\ =x(x-\frac{1}{2})(x-1)(x-1-\frac{1}{2})...(x-k+1)(x-k+1-\frac{1}{2}) \\ =2^{-2k}\times 2x(2x-1)(2x-2)(2x-3)...(2x-2k+2)(2x-2k+1) \\ =\frac{(2x{)}^{\underline{2k}}}{2^{2k}} \end{gathered}$$
6. 当 $n$ 是自然数时，有
   $(x+y{)}^{\underline{n}}=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})x^{\underline{i}}{y}^{\underline{n-i}}$
   $(x+y{)}^{\overline{n}}=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})x^{\overline{i}}{y}^{\overline{n-i}}$

有限微积分

• $\Delta (x^{\underline{m}})=m{x}^{\underline{m-1}}$ （类比求导）

• ${\sum }_{i=0}^{n-1}{i}^{\underline{k}}=\frac{n^{\underline{k+1}}}{k+1}$ （类比经典积分$\int x^k=\frac{x^{k+1}}{k+1}$）
  特例：经典积分中$k=-1$时有特例$\int \frac{1}{x}=\ln x$，这里也有${\sum }_{i=0}^{n-1}{i}^{\underline{-1}}={\sum }_{i=0}^{n-1}\frac{1}{i+1}={\sum }_{i=1}^n\frac{1}{i}$
  （调和级数：${\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{1}{i}$）

• $\Delta (2^x)=2^x$ （类比$(e^x)\prime =e^x$）

• 乘法法则：$\Delta (uv)=u\cdot \Delta v+Ev\cdot \Delta u$

• 分部积分法则：$\sum u\cdot \Delta v=uv-\sum Ev\cdot \Delta u$