正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6624

---

题目大意

$n$个点的一张图，每条边有权值，一棵生成树的权值是所有边权和乘上边权的$gcd$，即
$$val(T)=\left(\sum _{i=1}^{n-1}{w}_{e_i}\right)\times \gcd (w_{e_1},w_{e_2},\dots ,w_{e_{n-1}})$$

求所有生成树的权值和

---

解题思路

首先要知道一个东西$\phi \ast I=id$，于是我们就有
$$gcd(w_1,w_2,\dots ,w_n)=\sum _{d|w_1,d|w_2,\dots ,d|w_n}\phi (d)$$
然后化进这个式子里就是
$$\left(\sum _{i=1}^{n-1}{w}_i\right)\times \sum _{d|w_1,d|w_2,\dots ,d|w_n}\phi (d)$$
然后把$\phi (d)$丢出去就是
$$\sum _{d=1}^n\phi (d)\times \left(\sum _{i=1,d|w_i}^{n-1}{w}_i\right)$$
之后就是怎么快速算后面那个东西的事情了。

一个比较朴素的做法是枚举每一条边产生的贡献，然后固定这条边然后矩阵树求一次答案乘上这条边就好了。

但是这个比较慢，我们可以利用生成函数的思想，每一条边权变为$F_i(x)=w_{i}x+1$的一个多项式，然后所有多项式乘起来之后的一次项系数就是答案了。因为这样只会选择一条边的$w_i$

多项式除法的话用的比较少，这里化一下
$$\frac{ax+b}{cx+d}=zx+w\Rightarrow ax+b=zc{x}^2+(zd+cw)x+wd$$
然后二次项我们直接丢掉就有
$$b=wd\Rightarrow w=\frac{b}{d}$$
带进后面那个去就有
$$a=zd+c\frac{b}{d}\Rightarrow z=\frac{ad-cb}{d^2}$$
所以
$$\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{ad-cb}{d^2}x+\frac{b}{d}$$

这样时间复杂度是O(max{wi}(m+n3))O(\ max\{w_i\}(m+n^3)\ )O( max{wi​}(m+n3) )的，好像过不了，可以把边数不够$n-1$的直接不管，这样可以省去很多无用情况

---

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10,P=998244353;
struct fuc{ll x,y;fuc(ll xx=0,ll yy=0){x=xx;y=yy;return;}
};
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;x%=P;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
};
ll inv(ll x){return power(x,P-2);}
fuc operator+(fuc a,fuc b)
{return fuc((a.x+b.x)%P,(a.y+b.y)%P);}
fuc operator-(fuc a,fuc b)
{return fuc((a.x-b.x+P)%P,(a.y-b.y+P)%P);}
fuc operator*(fuc a,fuc b)
{return fuc((a.x*b.y+a.y*b.x)%P,a.y*b.y%P);}
fuc operator/(fuc a,fuc b)
{return fuc((a.x*b.y-b.x*a.y+P)%P*inv(b.y*b.y)%P,a.y*inv(b.y)%P);}
ll n,m,ans,x[N],y[N],w[N],phi[N],pri[N],cnt;
bool v[N];fuc a[31][31];
fuc det(){fuc ans(0,1);ll f=1;for(ll i=1;i<n;i++){ll w=i;for(ll j=i;j<n;j++)if(a[i][j].y){if(i!=j)f=-f;w=j;break;}swap(a[i],a[w]);if(!a[i][i].y)return fuc(0,0);ans=ans*a[i][i];fuc inv=fuc(0,1)/a[i][i];for(ll j=n-1;j>=i;j--)a[i][j]=a[i][j]*inv;for(ll j=i+1;j<n;j++){fuc rate=a[j][i];for(ll k=i;k<n;k++)a[j][k]=a[j][k]-rate*a[i][k];}}return (ans.x*f+P)%P;
}
void init(ll n){phi[1]=1;for(ll i=2;i<=n;i++){if(!v[i])pri[++cnt]=i,phi[i]=i-1;for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;j++){v[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0){phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];}}return;
}
signed main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);ll mx=0;for(ll i=1;i<=m;i++){scanf("%lld%lld%lld",&x[i],&y[i],&w[i]);x[i]--;y[i]--;mx=max(mx,w[i]);}init(mx);for(ll i=1;i<=mx;i++){ll cnt=0;for(ll j=1;j<=m;j++)if(w[j]%i==0)cnt++;if(cnt<n-1)continue;memset(a,0,sizeof(a));for(ll j=1;j<=m;j++)  if(w[j]%i==0){a[x[j]][x[j]]=a[x[j]][x[j]]+fuc(w[j],1);a[y[j]][y[j]]=a[y[j]][y[j]]+fuc(w[j],1);a[x[j]][y[j]]=a[x[j]][y[j]]-fuc(w[j],1);a[y[j]][x[j]]=a[y[j]][x[j]]-fuc(w[j],1);}(ans+=phi[i]*det().x%P)%=P;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}