正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT3949

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题目大意

长度为$L$的坐标轴上，给出$n$个点，每个点$x_i$需要购物$t_i$的时间，一辆车在$0\sim L$折返跑，求从$0$出发购物完回到$0$的最短时间。

$n\in [1,3\times 10^5],L\in [1,10^9]$，输入的$x_i$单调递增。

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解题思路

挺奇妙的题目，$WC2021$讲课的题。

首先每个$t_i$先$\%$上一个$2\times L$。然后把那些$2\times L$加到答案里先，这些无可避免。

然后考虑一个点，如果从右边进只需要到达一次端点就视为左括号，如果从右边进只需要到达一次端点就视为右括号。

先默认每个点的贡献都是$2\times L$，显然一个左括号和一个右括号匹配可以减少$2\times L$的贡献，因为如果先走右边那个再来走左边那个，这样他们的贡献和就是$2\times L$。

而有些点既可以视为左又可以视为右，此时我们需要最大化匹配数。

其实还有一个性质，如果一个节点开始固定作为左括号，那么它后面的一定不会有固定作为右括号的（拿作为左右括号的条件看一下就能理解了）。所以不会有两个固定的括号匹配。

然后就可以直接贪心匹配了，时间复杂度$O(n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=3e5+10;
int n,len,x[N],t[N],l[N],r[N],ans;
int main()
{scanf("%d%d",&n,&len);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&x[i]);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&t[i]);for(int i=1;i<=n;i++){ans+=t[i]/(2*len);t[i]%=2*len;if(!t[i]){ans--;continue;}l[i]=(t[i]<=x[i]*2);r[i]=(t[i]<=(len-x[i])*2);}int lim=n,L=0,R=0;ans+=n+1-r[n];for(int i=1;i<n;i++){if(!l[i]&&!r[i])continue;if(!r[i]){lim=i;break;}if(!l[i]&&L)L--,ans--;else if(l[i]) L++;}for(int i=n-1;i>=lim;i--){if(!l[i]&&!r[i])continue;if(!l[i])break;if(!r[i]&&R)R--,ans--;else if(r[i]) R++;}ans-=(L+R)>>1;printf("%lld\n",2ll*ans*len);return 0;
}