正题

题目链接:https://www.ybtoj.com.cn/problem/463

---

题目大意

给出长度为$n$的序列$A,B$。要求划分成若干段满足

1. 对于任何$i<j$，若$i$和$j$不是同一段的，要求满足$B_i>A_j$
2. 每一段$A_i$的最大值的和不能超过$m$

要求最小化每一段$B_i$和的最大值。

$n\in [1,10^5],A_i,B_i\in [1,10^9],m\in [1,10^{12}]$

---

解题思路

最大值最小化很显然直接二分，然后变为求每一段$A_i$最大值的和的最小值。

第一个条件相当于限制了什么位置能够作为划分段的末尾，求一个前缀min{bi}min\{b_i\}min{bi​}和一个后缀max{ai}max\{a_i\}max{ai​}能够快速求出这些位置。

然后考虑$dp$，转移方程就是
fi=min{fj+max{ak}(k∈(j,i])}f_i=min\{f_j+max\{a_k\}(\ k\in(j,i]\ )\}fi​=min{fj​+max{ak​}( k∈(j,i] )}

二分的条件限制了$j$的范围，加个指针就好了

这个东西好像很难搞，但是注意到vj=max{ak}v_j=max\{a_k\}vj​=max{ak​}这一部分是递减的，并且每次会让所有$v_i$的一起和一个一起取$max$。

因为是递减的，所以每次加入一个新的就相当于修改一段后缀的$v_i$，然后求一个区间的最大$f_i+v_i$了。

可以线段树维护，每个节点维护该区间最大的$f_i+v_i$和最大的$f_i$。区间推平$v_i$的时候就可以拿最大的$f_i$来更新$f_i+v_i$

时间复杂度$O(n\log n\log \sum b_i)$

---

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10,inf=1e9+7;
ll n,m,a[N],b[N],pre[N],suf[N],last[N];
ll lg[N],st[N][17],v[N<<2],w[N<<2],lazy[N<<2];
void Downdata(ll x){if(!lazy[x])return;lazy[x*2]=lazy[x*2+1]=lazy[x];w[x*2]=v[x*2]+lazy[x];w[x*2+1]=v[x*2+1]+lazy[x];lazy[x]=0;return;
}
void Changew(ll x,ll L,ll R,ll l,ll r,ll val){if(l>r)return;if(L==l&&R==r){w[x]=v[x]+val;lazy[x]=val;return;}ll mid=(L+R)>>1;Downdata(x);if(r<=mid)Changew(x*2,L,mid,l,r,val);else if(l>mid)Changew(x*2+1,mid+1,R,l,r,val);else Changew(x*2,L,mid,l,mid,val),Changew(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r,val);w[x]=min(w[x*2],w[x*2+1]);
}
void Changev(ll x,ll l,ll r,ll pos,ll val){if(l==r){v[x]=val;w[x]=v[x]+lazy[x];return;}ll mid=(l+r)>>1;Downdata(x);if(pos<=mid)Changev(x*2,l,mid,pos,val);else Changev(x*2+1,mid+1,r,pos,val);w[x]=min(w[x*2],w[x*2+1]);v[x]=min(v[x*2],v[x*2+1]);return;
}
ll Ask(ll x,ll L,ll R,ll l,ll r){if(L==l&&R==r)return w[x];ll mid=(L+R)>>1;Downdata(x);if(r<=mid)return Ask(x*2,L,mid,l,r);if(l>mid)return Ask(x*2+1,mid+1,R,l,r);return min(Ask(x*2,L,mid,l,mid),Ask(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r));
}
ll RMQ(ll l,ll r){ll z=lg[r-l+1];return max(st[l][z],st[r-(1<<z)+1][z]);
}
bool check(ll x){memset(v,0x3f,sizeof(v));memset(w,0x3f,sizeof(w));memset(lazy,0,sizeof(lazy));ll sum=0,l=0,tmp=v[0];Changev(1,0,n,0,0);for(ll i=1;i<=n;i++){sum+=b[i];while(sum>x)l++,sum-=b[l];Changew(1,0,n,last[i],i-1,a[i]);if(pre[i]<=suf[i+1])continue;tmp=Ask(1,0,n,l,i);Changev(1,0,n,i,tmp);}return (tmp<=m);
}
signed main()
{freopen("sequence.in","r",stdin);freopen("sequence.out","w",stdout);scanf("%lld%lld",&n,&m);ll l=1,r=0;pre[0]=inf;for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]),r+=b[i],l=max(l,b[i]),st[i][0]=a[i];for(ll i=2;i<=n;i++)lg[i]=lg[i>>1]+1;for(ll j=1;(1<<j)<=n;j++)for(ll i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)st[i][j]=max(st[i][j-1],st[i+(1<<j-1)][j-1]);for(ll i=1;i<=n;i++){ll l=1,r=i-1;while(l<=r){ll mid=(l+r)>>1;if(RMQ(mid,i)>a[i])l=mid+1;else r=mid-1;}last[i]=r;}for(ll i=1;i<=n;i++)pre[i]=min(pre[i-1],b[i]);for(ll i=n;i>=1;i--)suf[i]=max(suf[i+1],a[i]);while(l<=r){ll mid=(l+r)>>1;if(check(mid))r=mid-1;else l=mid+1;}check(l+1);printf("%lld\n",l);
}