正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF585E

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题目大意

给出一个大小为$n$的可重集$T$，求有多少个它的非空子集$S$和元素$x$满足
x∉S,gcd{S}>1,gcd(S,x)=1x\notin S,gcd\{S\}>1,gcd(S,x)=1x∈/​S,gcd{S}>1,gcd(S,x)=1

$1\le n\le 5\times 10^5$，值域范围是$[2,10^7]$

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解题思路

$x\notin S$这个条件是没有用的，可以去掉

然后设$f_i$表示与$i$互质的数的个数，$s_i$表示$gcd$为$i$的集合个数，那么答案就是$\sum f_i{s}_i$

然后设$c_i$表示$i$的个数
$$f_i=\sum _{d|i}^n\mu (d)\sum _{d|j}{c}_j$$
然后可以处理出一个$g_d={\sum }_{d|j}{c}_j$就可以了。

然后考虑$s_i$怎么处理
$$s_i=2^{c_i}-1-\sum _{i|d}(2^{c_d}-1)$$
就好了。

然后这些都可以用狄利克雷前缀/后缀和$O(n\log \log n)$求

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e7+1,P=1e9+7;
int n,cnt,pri[N],mu[N],f[N],s[N],pw[N],ans;
bool v[N];
int main()
{mu[1]=1;for(int i=2;i<N;i++){if(!v[i])pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){v[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0)break;mu[i*pri[j]]=-mu[i];}}scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){int x;scanf("%d",&x);f[x]++;;}pw[0]=1;for(int i=1;i<N;i++)pw[i]=pw[i-1]*2ll%P;for(int j=1;j<=cnt;j++)for(int i=N/pri[j];i>=1;i--)f[i]+=f[i*pri[j]];for(int i=1;i<N;i++)s[i]=pw[f[i]]-1;for(int i=1;i<N;i++)f[i]=f[i]*mu[i];for(int j=cnt;j>=1;j--)for(int i=1;i*pri[j]<N;i++)f[i*pri[j]]+=f[i];for(int j=cnt;j>=1;j--)for(int i=1;i*pri[j]<N;i++)(s[i]-=s[i*pri[j]])%=P;for(int i=2;i<N;i++)(ans+=1ll*f[i]*s[i]%P)%=P;printf("%d\n",(ans+P)%P);return 0;
}