肖然大佬视频讲解

子串： 从原串中选取连续的一段，即为子串（包括空串）
前缀： $pre(s,k)$ 为 s 前 k 个字符构成的子串
后缀： $suf(s,k)$ 为 s(k…n) 构成的子串
任何子串都是某个后缀的前缀
最长公共前缀 $lcp(s,t)$ 和最长公共后缀 $lcs(s,t)$

周期： ①$0<p<|s|$ ②s[i]=s[i+p],∀i∈{1,2,…,∣s∣−p}s[i]=s[i+p], \forall i\in\{1,2,\dots,|s|-p\}s[i]=s[i+p],∀i∈{1,2,…,∣s∣−p}，满足以上条件，称 $p$为 s 的周期
Border： ①$0<r<|s|$ ②$pre(s,r)=suf(s,r)$，满足以上条件，称 $pre(s,r)$为 s 的 border

周期与Border的关系：$pre(s,k)$是 s 的 border $\iff$ $|s|-k$ 是 s 的周期
Border的传递性：
①串 s 是 t 的 border ，串 t 是 r 的 border，那么 s 是 r 的border
②串 s 是 r 的 border，串 t （$|t|>|s|$）也是 r 的 border，则 s 是 t 的border
记 mb(s) 表示 s 的最长 border 则 mb(s)，mb(mb(s))…构成 s 的所有 border

给定一个模式串S，以及一个模板串P，所有字符串中只包含大小写英文字母以及阿拉伯数字。

模板串P在模式串S中多次作为子串出现。

求出模板串P在模式串S中所有出现的位置的起始下标（0开始）。

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1000010;
int n,m;
char p[N],s[N];
int ne[N];
int main()
{cin>>n>>p+1>>m>>s+1;// 求ne过程看成两个相同的串匹配for(int i=2,j=0;i<=n;i++){while(j&&p[i]!=p[j+1]) j=ne[j];if(p[i]==p[j+1]) j++;// i结尾能够匹配 1~j 那么ne[i]=jne[i]=j;}// 当前需要判断是否匹配 p[j+1]?=s[i]for(int i=1,j=0;i<=m;i++){while(j&&s[i]!=p[j+1]) j=ne[j];if(s[i]==p[j+1]) j++;if(j==n){cout<<i-n<<' ';j=ne[j];}}return 0;
}

概念以及构造： 将 next[i] 视为 i 点的父节点，那么通过 next 数组可以把 0~N 点连成一棵树，满足性质：

• 点 i 的所有祖先都是前缀 pre(s,i) 的 border
• 没有祖先关系的两个点 i，j 没有 border 关系

联系： 计算 next[i] 的过程可以看作：从 j=fa[i-1] 开始不断往上走，找到第一个满足 s[j+1]=s[i] 的点，把点 i 的父亲设为 j+1

#include<string>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1000010;
int ne[N];
int fa[N][21],dep[N];
string s;
int n;
int lca(int a,int b)
{if(dep[a]<dep[b]) swap(a,b);for(int k=20;k>=0;k--)if(dep[fa[a][k]]>=dep[b]) a=fa[a][k];if(a==b) return a;for(int k=20;k>=0;k--)if(fa[a][k]!=fa[b][k]){a=fa[a][k];b=fa[b][k];}return fa[a][0];
}
int main()
{cin>>s;n=s.size();s="."+s;dep[0]=1,dep[1]=2;fa[1][0]=0;for(int i=2,j=0;i<=n;i++){while(j&&s[i]!=s[j+1]) j=ne[j];if(s[i]==s[j+1]) j++;ne[i]=j;// 构建失配树fa[i][0]=j;dep[i]=dep[j]+1;for(int k=1;k<=20;k++)fa[i][k]=fa[fa[i][k-1]][k-1];}int q;cin>>q;while(q--){int a,b;cin>>a>>b;int pab=lca(a,b);// 注意本身是公共祖先的情况if(a==pab||b==pab) cout<<ne[pab]<<'\n';else cout<<pab<<'\n';}return 0;
}