【模板】最大权闭合图

ACM模板

概念

闭合图中所有的点的出边必须指向内部的点

建图

原图的边在网络流中的边容量是INF，如果点权是正，那么源点向其连边，容量是点权；否则它向汇点连边，容量是点权绝对值

证明

考虑最小割 $[S, T]$ ，所求的满足条件的闭合子图为 $V_1$

$S=V1∪{s}S=V_1\cup \{ s \}$ ， $T=V2∪{t}T=V_2\cup \{t \}$ ，其中 $V_2=V-V_1$
$c[S,T]=∑v∈V2+wv+∑v∈V1−(−wv)c[S,T]=\sum_{v\in V_2^+}w_v+\sum_{v\in V_1^-}(-w_v)$

而闭合子图的权值为
$W(V1)=∑v∈V1+wv+∑v∈V1−wv=∑v∈V1+wv−∑v∈V1−(−wv)W(V_1)=\sum_{v\in V_1^+}w_v+\sum_{v\in V_1^-}w_v=\sum_{v\in V_1^+}w_v-\sum_{v\in V_1^-}(-w_v)$

于是有
$c[S,T]+W(V1)=∑v∈V1+wv+∑v∈V2+wv=∑v∈V+wvc[S,T]+W(V_1)=\sum_{v\in V_1^+}w_v+\sum_{v\in V_2^+}w_v=\sum_{v\in V^+}w_v$

即
$W(V1)=∑v∈V+wv−c[S,T]W(V_1)=\sum_{v\in V^+}w_v-c[S,T]$

模板题

最大获利

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=55010,M=6*N,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m;
int h[N],e[M],ne[M],f[M],idx;
int S,T,d[N],q[N],cur[N];
void add(int a,int b,int c)
{e[idx]=b,ne[idx]=h[a],f[idx]=c,h[a]=idx++;e[idx]=a,ne[idx]=h[b],f[idx]=0,h[b]=idx++;
}
bool bfs()
{memset(d,-1,sizeof d);int tt=0,hh=0;q[S]=0,cur[S]=h[S],d[S]=0;while(hh<=tt){int t=q[hh++];for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){int j=e[i];if(d[j]==-1&&f[i]){d[j]=d[t]+1;cur[j]=h[j];if(j==T) return 1;q[++tt]=j;}}}return 0;
}
int dfs(int u=S,int flow=INF)
{if(u==T) return flow;int rmn=flow;for(int i=cur[u];i!=-1&&rmn;i=ne[i]){cur[u]=i;int j=e[i];if(d[j]==d[u]+1&&f[i]){int t=dfs(j,min(f[i],rmn));if(!t) d[j]=-1;f[i]-=t,f[i^1]+=t,rmn-=t;}}return flow-rmn;
}
int dinic()
{int r=0;while(bfs()) r+=dfs();return r;
}
int main()
{cin>>n>>m;memset(h,-1,sizeof h);S=0,T=n+m+1;int s=0;for(int i=1;i<=n;i++){int p;cin>>p; add(i,T,p);}for(int i=1;i<=m;i++){int a,b,c;cin>>a>>b>>c;add(i+n,a,INF),add(i+n,b,INF);add(S,i+n,c);s+=c;}cout<<s-dinic()<<'\n';return 0;
}