正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4640

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题目大意

$n$种物品，其中$t$种物品是有个数限制的，第$i$种限制为$b_i$，求选出$m$个物品的方案数$\%p$的值
$1\le n,m,b_i\le 10^9,0\le t\le 15,p\in [1,10^5]\cap Pri$

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解题思路

看上去就很$\text{OGF}$的题目？
对于有限制的物品为$f(x)=\frac{1-x^{b_i+1}}{1-x}$，其他都是$f(x)=\frac{1}{1-x}$。

然后$n$个乘起来的话然后求前$m$次项的系数。

分子因为只有$t$个有值，直接暴力乘起来。下面那个分母是$\frac{1}{(1-x{)}^n}$

所以对于上面如果有一个$a{x}^{m-k}$那么就会产生贡献
$$a\sum _{i=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+i-1}{n}\right)=a\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{n}\right)$$
（相等于选出$0\sim k$个球放进$n$个盒子里，开一个垃圾箱把没用的球放进去就好了）

然后模数小，开$Lucas$就好了

时间复杂度$O(2^t{\log }_{p}n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10;
ll n,t,m,p,b[20],ans,inv[N],fac[N];
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[m]%p*inv[n-m]%p;}
ll L(ll n,ll m){if(n<m)return 0;if(n<p)return C(n,m);return L(n/p,m/p)*L(n%p,m%p)%p;
}
signed main()
{scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&t,&m,&p);for(ll i=0;i<t;i++)scanf("%lld",&b[i]),b[i]++;inv[1]=1;for(ll i=2;i<p;i++)inv[i]=p-inv[p%i]*(p/i)%p;inv[0]=fac[0]=1;for(ll i=1;i<p;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%p,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%p;ll MS=(1<<t); for(ll s=0;s<MS;s++){ll f=1,sum=0;for(ll i=0;i<t;i++)if((s>>i)&1)f=-f,sum+=b[i];(ans+=L(n+m-sum,n)*f)%=p;}printf("%lld\n",(ans+p)%p);return 0;
}