FHQ Treap 主要通过 $\mathrm{merge}$ 和 $\mathrm{spilt}$ 两个核心操作和其他辅助函数来实现。

• 本文用 $l{c}_x$ 表示 $x$ 的左儿子，$r{c}_x$ 表示 $x$ 的右儿子，$da{t}_x$ 表示 $x$ 的随机优先级

merge

• $\mathrm{merge}(x,y)$ 要求 $x$ 所在子树中的元素均小于等于 $y$ 所在子树中的元素，将两棵树合并，并返回合并后的根节点。
• 实现方法：

1. 若 $da{t}_x<da{t}_y$，则 $x$ 作为新根节点，$y$ 与 $r{c}_x$ 合并后的根节点作为新的 $r{c}_x$。
2. 若 $da{t}_x\ge da{t}_y$，则 $y$ 作为新根节点，$x$ 与 $l{c}_y$ 合并后的根节点作为新的 $l{c}_y$。
3. 若出现空节点，则不需合并，返回 $x+y$ 即可。

inline int merge(int x,int y){if(!x||!y)return x+y;pushdown(x),pushdown(y);if(tr[x].dat<tr[y].dat){tr[x].rc=merge(tr[x].rc,y);pushup(x);return x;}else{tr[y].lc=merge(x,tr[y].lc);pushup(y);return y;}
}

spilt

按权值分裂

• $\mathrm{spilt}(u,v,x,y)$ 表示将 $u$ 中 $\le v$ 的元素合并到 $x$ 中，将 $>v$ 的元素合并到 $y$ 中。由于用返回值处理比较麻烦，通常通过引用实现。
• 实现方法：

1. 若 $va{l}_u\le v$，则 $u$ 及其左子树中所有元素都 $\le v$，都应划分到 $x$ 中，继续分裂 $rc$ 到 $rc$ 和 $y$ 中。
2. 若 $va{l}_u>v$，则 $u$ 及其右子树中所有元素都 $>v$，都应划分到 $y$ 中，继续分裂 $lc$ 到 $x$ 和 $lc$ 中。
3. 若 $u$ 为空节点，则不需要分裂，令 $x\leftarrow 0$，$y\leftarrow 0$，返回即可。

inline void spilt(int u,int v,int &x,int &y){if(!u){x=y=0;return;}pushdown(u);if(tr[u].val<=v)x=u,spilt(tr[u].rc,v,tr[u].rc,y);elsey=u,spilt(tr[u].lc,v,x,tr[u].lc);pushup(u);
} 

按排名分裂

• 相同道理。

inline void spilt(int u,int k,int &x,int &y){if(!u){x=y=0;return;}pushdown(u);if(k<=tr[tr[u].lc].siz)y=u,spilt(tr[u].lc,k,x,tr[u].lc);elsex=u,spilt(tr[u].rc,k-tr[tr[u].lc].siz-1,tr[u].rc,y);pushup(u);
}

例题

【模板】文艺平衡树