正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5643

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题目大意

给出$n$个点的一棵树，一个人从点$x$开始随机游走，然后$Q$次询问给出一个点集$S$，求期望多少步这个人会经过这个点集中的所有点。

$1\le n\le 18,1\le Q\le 5000$

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解题思路

整个点集都走完比较难统计，我们可以考虑用$min-max$容斥转为求走到其中一个点的期望步数。

我们设我们目前枚举的集合是$S$，那么首先有$f_x=0(x\in S)$

然后有转移方程：
$$f_x=\frac{1}{de{g}_x}(f_{f{a}_x}+\sum _{x\to y}{f}_y)$$
惯例的我们设$f_x=A_x{f}_{f{a}_x}+B_x$
$$f_x=\frac{1}{de{g}_x}\left(f_{f{a}_x}+\sum _{x\to y}(A_y{f}_x+B_y)\right)$$
$$f_x=\frac{1}{de{g}_x}{f}_{f{a}_x}+\frac{sumA{f}_x}{deg}+\frac{1}{de{g}_x}sumB+1$$
$$\frac{de{g}_x-sumA}{de{g}_x}{f}_x=\frac{1}{de{g}_x}{f}_{f{a}_x}+\frac{1}{de{g}_x}sumB+1$$
$$f_x=\frac{1}{de{g}_x-sumA}{f}_{f{a}_x}+\frac{de{g}_x+sumB}{de{g}_x-su{m}_A}$$

这样我们就可以推出$A$和$B$，而$B_x$就是节点$x$的$f$值，记$g_S=B_x$。

那么根据min-max容斥如果我们询问集合$S$时答案就是
$$\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}{g}_T$$

用个高维前缀和就可以预处理所有集合的答案了。

时间复杂度：$O(n{2}^n\log P)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=18,P=998244353;
struct node{ll to,next;
}a[N<<1];
ll n,Q,rt,tot,ls[N],deg[N];
ll A[N],B[N],c[1<<N],f[1<<N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
void addl(ll x,ll y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;deg[y]++;return;
}
void dfs(ll x,ll fa,ll S){ll sumA=0,sumB=0;if((S>>x)&1){A[x]=B[x]=0;return;}for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(y==fa)continue;dfs(y,x,S);sumA=(sumA+A[y])%P;sumB=(sumB+B[y])%P;}ll inv=power((deg[x]-sumA+P)%P,P-2);A[x]=inv;B[x]=(deg[x]+sumB)*inv%P;return;
}
signed main()
{scanf("%lld%lld%lld",&n,&Q,&rt);rt--;for(ll i=1,x,y;i<n;i++){scanf("%lld%lld",&x,&y);x--;y--;addl(x,y);addl(y,x);}ll MS=(1<<n);for(ll s=1;s<MS;s++){memset(A,0,sizeof(A));memset(B,0,sizeof(B));dfs(rt,n,s);f[s]=B[rt];}for(ll s=1;s<MS;s++){c[s]=c[s-(s&-s)]+1;f[s]=((c[s]&1)?f[s]:(P-f[s]));}for(ll i=0;i<n;i++)for(ll s=MS-1;s>=0;s--)if((s>>i)&1)(f[s]+=f[s-(1<<i)])%=P;while(Q--){ll k,s=0;scanf("%lld",&k);for(ll i=0,x;i<k;i++)scanf("%lld",&x),s|=(1<<x-1);printf("%lld\n",f[s]);}return 0;
}