正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF809D

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正题

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题目大意

有一个长度为$n$的序列$a$，要求$a_i\in [l_i,r_i]$，要求使得$a$的最长严格上升子序列最长。

$1\le n\le 3\times 10^5,1\le l_i\le r_i\le 10^9$

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解题思路

考虑一下暴力的做法，我们设$f_i$表示在目前的序列中后面加个数字$i$为结尾时的最长上升子序列，那么显然$f$是单调不降的。

同理由于是严格上升，所以我们$f$不可能一次升$2$的值，也就是$f_i\le f_{i-1}+1$。所以我们可以考虑维护$f_i=f_{i-1}+1$的位置，也就是维护$f$的差分数组中的$1$的位置。

考虑新加入一个$[l,r]$时的变化，那对于所有$i\in [l+1,r+1]$都有fi=max{fi,fj+1}(j<i)f_i=max\{f_i,f_j+1\}(j<i)fi​=max{fi​,fj​+1}(j<i)，注意到$1$位置的变化我们可以得出一下结论，当修改$[l,r]$时需要

1. 将$[l+1,r]$中所有$1$的后面那个$1$移动到这个$1$的后一位。
2. 将$[l+1,r]$中的第一个$1$移动到$l+1$处

这个操作看起来很难实现，实际上我们可以将第一个视为将$[l+1,r+1]$中的$1$往后移一格。

我们用FhqTreap维护$1$的位置，然后把$(r,\infty )$中第一个$1$删除，$[l+1,r]$中的所有$1$往后移一格，再在$l+1$这个位置插一个$1$就好了。

时间复杂度：$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=3e5+10;
int n,cnt,rt,w[N],dat[N],lazy[N],siz[N],t[N][2];
void Downdata(int x){if(!lazy[x])return;for(int i=0;i<2;i++){if(!t[x][i])continue;lazy[t[x][i]]+=lazy[x];w[t[x][i]]+=lazy[x];}lazy[x]=0;return;
}
int NewNode(int val){siz[++cnt]=1;dat[cnt]=rand();w[cnt]=val;return cnt;
}
void PushUp(int x){siz[x]=siz[t[x][0]]+siz[t[x][1]]+1;return;
}
void Split(int &x,int &y,int p,int k){if(!p){x=y=0;return;}Downdata(p);if(w[p]<=k)x=p,Split(t[x][1],y,t[p][1],k);else y=p,Split(x,t[y][0],t[p][0],k);PushUp(p);return;
}
int Merge(int x,int y){Downdata(x);Downdata(y);if(!x||!y)return x|y;if(dat[x]<dat[y]){t[x][1]=Merge(t[x][1],y);PushUp(x);return x;}else{t[y][0]=Merge(x,t[y][0]);PushUp(y);return y;}return x|y;
}
int Findk(int x,int k){if(siz[t[x][0]]>=k)return Findk(t[x][0],k);if(siz[t[x][0]]+1==k)return x;return Findk(t[x][1],k-siz[t[x][0]]-1);
}
int main()
{
//	freopen("vague.in","r",stdin);
//	freopen("vague.out","w",stdout);srand(19260817);scanf("%d",&n);for(int i=1,l,r;i<=n;i++){scanf("%d%d",&l,&r);int x,y,z;l++;Split(x,y,rt,l-1);Split(y,z,y,r);if(z){int v=w[Findk(z,1)],nu;Split(nu,z,z,v);}if(y)lazy[y]++,w[y]++;y=Merge(NewNode(l),y);y=Merge(y,z);rt=Merge(x,y);}printf("%d\n",siz[rt]);return 0;
}