正题

题目链接:http://pjudge.ac/problem/21652

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题目大意

给出一个正整数$k$，求第$n$个$x$满足$x\times (10^k-1)$中没有一个数位为$9$。

$1\le n\le 10^{18},1\le k\le 18$

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解题思路

首先是从高位到低位逐步确定答案，但是直接暴力算乘法肯定很麻烦，我们考虑反过来做。

我们算第$n$个合法的$x\times (10^k-1)$，然后再除以$10^k-1$。

那么现在问题就是给定一些确定的位，求剩下的位有多少种不含$9$的组法能够拼出$10^k-1$的倍数。

然后一个数$10^k-1$的倍数的条件就是将它每$k$位分割一次提出来求和，如果是$10^k-1$的倍数就合法。

段数不会太多，我们可以暴力枚举$10^k-1$的倍数，然后数位dp求解。

细节有点多。

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#define ll __int128
using namespace std;
const int W=40;
int k,a[80],b[80];
ll n,f[80][10];
ll read(){ll x=0,f=1;char c=getchar();while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}return x*f;
}
void print(ll x)
{if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');return;}
ll solve(){int L=(W+k-1)/k;ll pw=1,ans=0;for(int i=1;i<=k;i++)pw=pw*(ll)10;pw--;for(int d=1;d<=L;d++){ll p=d*pw;for(int i=0;i<k;i++)b[i]=p%10,p/=10;memset(f,0,sizeof(f));f[0][0]=1;for(int i=0;i<k;i++){for(int z=0;z<L;z++)for(int x=(z==0);x<10;x++)f[z/10][z%10]+=f[z][x],f[z][x]=0;for(int j=0;j<L;j++)for(int z=L-1;z>=0;z--)for(int x=9;x>=0;x--){if(!f[z][x])continue;ll r=f[z][x];f[z][x]=0;if(a[j*k+i]==-1)for(int y=8;y>=0;y--)f[z+(x+y)/10][(x+y)%10]+=r;else f[z+(x+a[j*k+i])/10][(x+a[j*k+i])%10]+=r;}for(int z=0;z<L;z++)for(int x=0;x<10;x++)if(x!=b[i])f[z][x]=0;}for(int x=0;x<10;x++)ans+=f[p][x];}return ans;
}
signed main()
{k=read();n=read();ll now=0,las;int m=(W+k-1)/k*k;for(int i=0;i<m;i++)a[i]=-1;for(int i=m-1;i>=0;i--){a[i]=0;now+=(las=solve());while(now<n){a[i]++;now+=(las=solve());}now-=las;}ll ans=0;//print(now);for(int i=m-1,flag=0;i>=0;i--)ans=ans*(ll)10+a[i];ll pw=1;for(int i=0;i<k;i++)pw=pw*(ll)10;pw=pw-1;ans/=pw;print(ans);return 0;
}
//1 8